爬樓梯

題目

來源：力扣（LeetCode）
鏈接：爬樓梯

思路一 暴力搜索

暴力搜索,題目可以轉換爲整數n可以拆成a個1和b個2相加 這種拆法有多少種 ，且$4=1+2+1$和$4=2+1+1$是不同的拆法。
由於每踏一步有兩種選法，至少需要篩選n次，所以時間複雜度約爲o(2ⁿ)但這種做法會超時。

代碼

void dfs(int sum,int n,int *cnt){
    if(sum==n){
        (*cnt)++;
        return;
    }
    if(sum>n){
        return;
    }
    for(int i=1;i<=2;i++){
        dfs(sum+i,n,cnt);
    }
}

int climbStairs(int n){
    int cnt=0;
    dfs(0,n,&cnt);
    return cnt;
}

思路二 轉換爲斐波那契數

爬到第n層的有幾張走法可以等價於爬到n-1層的走法加爬到n-2的走法。
即$f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(0)=1,f(1)=1$符合斐波那契數的特點。

求斐波那契數可以用以下方法

1. 遞歸法優化，使用一維數組暫存中間結果
2. 動態規劃求斐波那契數

遞歸法優化

如下圖，以n=5爲例，在計算f(5）時f(3)已經計算過，不需重複計算，返回數組元素fib[3]即可

代碼

int Fib(int i,int* fib){
    if(i==0||i==1){
        return 1;
    }
    if(fib[i]>0){
        return fib[i];
    }
    fib[i]=Fib(i-1,fib)+Fib(i-2,fib);
    return fib[i];
}
int climbStairs(int n){
    int fib[10000000];
    fib[0]=1;fib[1]=1;
    return Fib(n,fib);
}

動態規劃
初始狀態爲$dp[0]=1,dp[1]=1$
動態轉移方程爲
$爲dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]$

代碼

int climbStairs(int n){
    int *dp=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));
    
    dp[0]=1;
    dp[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
    }
    int res=dp[n];
    free(dp);
    return res;
}