小波變換的基本思想是用一組小波函數或者基函數表示一個函數或者信號，例如圖像信號。爲了理解什麼是小波變換，下面用一個具體的例子來說明小波變換的過程。
1. 求有限信號的均值和差值
[例] 假設有一幅分辨率只有4個像素 的一維圖像，對應的像素值或者叫做圖像位置的係數分別爲：
[9 7 3 5]
計算它的哈爾小波變換系數。
計算步驟如下：
步驟1：求均值(averaging)。計算相鄰像素對的平均值，得到一幅分辨率比較低的新圖像，它的像素數目變成了2個，即新的圖像的分辨率是原來的1/2，相應的像素值爲：
[8 4]
步驟2：求差值(differencing)。很明顯，用2個像素表示這幅圖像時，圖像的信息已經部分丟失。爲了能夠從由2個像素組成的圖像重構出由4個像素組成的原始圖像，就需要存儲一些圖像的細節係數(detail coefficient)，以便在重構時找回丟失的信息。方法是把像素對的第一個像素值減去這個像素對的平均值，或者使用這個像素對的差值除以2。在這個例子中，第一個細節係數是(9-8)=1，因爲計算得到的平均值是8,它比9小1而比7大1，存儲這個細節係數就可以恢復原始圖像的前兩個像素值。使用同樣的方法，第二個細節係數是(3-4)=-1，存儲這個細節係數就可以恢復後2個像素值。因此，原始圖像就可以用下面的兩個平均值和兩個細節係數表示，
[8 4 1 -1]
步驟3：重複第1，2步，把由第一步分解得到的圖像進一步分解成分辨率更低的圖像和細節係數。在這個例子中，分解到最後，就用一個像素的平均值6和三個細節係數2,1和-1表示整幅圖像。
[6 2 1 -1]
這個分解過程如表8-1所示。
表8-1 哈爾變換過程
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分辨率 |
平均值 |
細節係數 |
|
4 |
[9 7 3 5] |
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2 |
[8 4] |
[1 -1] |
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1 |
[6] |
[2] |
由此可見，通過上述分解就把由4像素組成的一幅圖像用一個平均像素值和三個細節係數表示，這個過程就叫做哈爾小波變換(Haar wavelet transform)，也稱哈爾小波分解(Haar wavelet decomposition)。這個概念可以推廣到使用其他小波基的變換。
從這個例子中我們可以看到：
① 變換過程中沒有丟失信息，因爲能夠從所記錄的數據中重構出原始圖像。
② 對這個給定的變換，我們可以從所記錄的數據中重構出各種分辨率的圖像。例如，在分辨率爲1的圖像基礎上重構出分辨率爲2的圖像，在分辨率爲2的圖像基礎上重構出分辨率爲4的圖像。
③ 通過變換之後產生的細節係數的幅度值比較小，這就爲圖像壓縮提供了一種途徑，例如去掉一些微不足道的細節係數並不影響對重構圖像的理解。
圖1 是Haar 小波對二維圖像的一級及三級分解子帶圖, 在右圖中最低頻a3 子帶圖像與原始圖像極其相似, 只是尺寸變小, 它包含了原圖的絕大部分能量,對恢復圖像質量影響較大, 其餘高頻子帶的小波係數大多非常小。在同一層, 由於v 及h 子圖表示的邊緣子圖像的小波係數和方差比d 子圖要大, 因此d 子圖在重構圖像時不是很重要[4 ]。
