離散小波變換(Discrete Wavelet Transform)
(來自維基百科）
離散小波變換（Discrete Wavelet Transform）在數值分析和時頻分析中很有用。第一個離散小波變換由匈牙利數學家發明，離散小波變換顧名思義就是離散的輸入以及離散的輸出，但是這裏並沒有一個簡單而明確的公式來表示輸入及輸出的關係，只能以階層式架構來表示。
定義
- 首先我們定義一些需要用到的信號及濾波器。
- x[n]：離散的輸入信號，長度爲N。
- g[n]：low pass filter低通濾波器，可以將輸入信號的高頻部份濾掉而輸出低頻部份。
- h[n]：high pass filter高通濾波器，與低通濾波器相反，濾掉低頻部份而輸出高頻部份。
![\downarrow]()
Q：downsampling filter降採樣濾波器，如果以x[n]作爲輸入，則輸出y[n]=x[Qn]。此處舉例Q=2。
Q：downsampling filter降採樣濾波器，如果以x[n]作爲輸入，則輸出y[n]=x[Qn]。此處舉例Q=2。-
- 舉例說明:
![DiscreteWaveletTrans1.jpg]( "離散小波變換(Discrete Wavelet Transform) - cxmtx@126 - cxmtx@126的博客")
- 舉例說明:
- 清楚規定以上符號之後，便可以利用階層架構來介紹如何將一個離散信號作離散小波變換：
- 架構中的第1層(1st stage)
![x_{1,L}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x[2n-k]g[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/d/5/3/d532c87de7fefdb3334d39c6b8d73212.png)
![x_{1,H}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x[2n-k]h[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/2/2/f22e05c06ee68d50c9c28cc9a2c15a99.png)
- 架構中的第2層(2nd stage)
![x_{2,L}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x_{1,L}[2n-k]g[k]]()
![x_{2,H}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x_{1,L}[2n-k]h[k]]()
![x_{2,L}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x_{1,L}[2n-k]g[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/7/b/f7bf7ee53e82b13087ca672463472a2c.png)
![x_{2,H}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x_{1,L}[2n-k]h[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/4/8/f4883e3abd4f1826602093b7d87a3139.png)
- 可繼續延伸
架構中的第α層(α ? th stage)
![x_{\alpha ,L}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x_{\alpha -1,L}[2n-k]g[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/2/c/6/2c6634a630cdac1c98d0bdf242a244d5.png)
![x_{\alpha ,H}[n]=\sum_{k=0}^{K-1} x_{\alpha -1,L}[2n-k]h[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/1/8/5/185c4e8dfda0ed943c9778a7ee780d66.png)
注意：若輸入信號x[n]的長度是N，則第α層中的xα,L[n]及xα,H[n]的長度爲 |
2-D Discrete Wavelet Transform
-
- 此時的輸入信號變成x[m,n]，而轉換過程變得更復雜，說明如下：
- 首先對n方向作高通、低通以及降頻的處理
- 首先對n方向作高通、低通以及降頻的處理
![v_{1,L}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} x[m,2n-k]g[k]]()
![v_{1,H}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} x[m,2n-k]h[k]]()
- 接着對v1,L[m,n]與v1,H[m,n]延著m方向作高低通及降頻動作
![x_{1,LL}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,L}[2m-k,n]g[k]]()
![x_{1,HL}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,L}[2m-k,n]h[k]]()
![x_{1,LH}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,H}[2m-k,n]g[k]]()
![x_{1,HH}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,H}[2m-k,n]h[k]]()
- 經過(1)(2)兩個步驟纔算完成2-D DWT的一個stage。
![v_{1,L}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} x[m,2n-k]g[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/1/8/d/18dd39af50206e08cfbbf5875ede1647.png)
![v_{1,H}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} x[m,2n-k]h[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/3/e/e/3eef00320c2f575f37c60d6a3786bf93.png)
![x_{1,LL}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,L}[2m-k,n]g[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/7/5/5/7552e448b4f4b65c6104602f42217410.png)
![x_{1,HL}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,L}[2m-k,n]h[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/0/1/d/01d060860ed6fc05df80a3dbafc65260.png)
![x_{1,LH}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,H}[2m-k,n]g[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/f/0/1/f01f9769686060a55d6723292c89a0a9.png)
![x_{1,HH}[m,n]=\sum_{k=0}^{K-1} v_{1,H}[2m-k,n]h[k]](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/math/6/3/8/638f820399b599a10e7fd129a2be2148.png)
實際範例
以下根據上述2-D DWT的步驟，對一張影像作二維離散小波變換(2D Discrete Wavelet Transform)
- 原始影像
![2D DWT Original.png]( "離散小波變換(Discrete Wavelet Transform) - cxmtx@126 - cxmtx@126的博客")
- 2D DWT的結果
![300px?]( "離散小波變換(Discrete Wavelet Transform) - cxmtx@126 - cxmtx@126的博客")
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