【計蒜客】「2017 計蒜之道 複賽」A.阿里雲祕鑰池 數位DP+莫比烏斯函數

內個……我還沒有計蒜客的賬號，就先不給題目傳送門了……

看到數據範圍不正常，就想到了數位DP。

定義f[i][j] 表示從高到底DP到第i 位，第i+1 位上的數爲j 的方案數。

f[i][j]=∑k=1p−1f[i−1][k]×[(j,k)=1]=∑k=1p−1f[i−1][k]×∑d|(j,k)μ(d)=∑d|j(μ(d)×∑t=1⌊p−1d⌋f[i−1][d×t])

當我們已知f[i−1] 時，可以用兩次類似於埃氏篩的方法求出f[i] ，時間複雜度爲O(plog2plogpr)=O(plog2r) 。

附上AC代碼：

#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
int t,mod,p[N],miu[N],num,len,a[70];
ll f[70][N],l,r;
bool b[N];

inline void get(int n){
    miu[1]=1;
    for (int i=2; i<=n; ++i){
        if (!b[i]) p[++num]=i,miu[i]=-1;
        for (int j=1; j<=num&&p[j]*i<=n; ++j){
            b[p[j]*i]=1,miu[p[j]*i]=-miu[i];
            if (i%p[j]==0) {miu[p[j]*i]=0;break;}
        }
    }
    return;
}

inline void change(ll x){
    len=0;do a[++len]=x%mod,x/=mod; while (x);
    return;
}

inline int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}

inline ll so(int x,int pre,bool b){
    if (x==1) return 1ll;
    if (!b&&f[x][pre]) return f[x][pre];
    ll ans=0,lim=b?a[x-1]:mod-1;
    for (int i=1; i<=lim; ++i) if (gcd(pre,i)==1) ans+=so(x-1,i,b&&(i==lim));
    if (!b) f[x][pre]=ans;
    return ans;
}

inline ll calc(ll x){
    change(x);ll ans=0;
    for (int i=1; i<len; ++i) for (int j=1; j<mod; ++j) ans+=f[i][j];
    for (int i=1; i<=a[len]; ++i) ans+=so(len,i,i==a[len]);
    return ans;
}

int main(void){
    for (get(1e5),scanf("%d",&t); t; --t){
        scanf("%lld%lld%d",&l,&r,&mod),change(r);
        for (int i=0; i<=len; ++i) for (int j=0; j<mod; ++j) f[i][j]=0;
        for (int i=1; i<mod; ++i) f[1][i]=1;
        for (int i=2; i<=len; ++i)
            for (int d=1; d<mod; ++d){
                ll sum=0;
                for (int t=d; t<mod; t+=d) sum+=f[i-1][t];
                for (int t=d; t<mod; t+=d) f[i][t]+=sum*miu[d];
            }
        printf("%lld\n",calc(r)-calc(l-1));
    }
    return 0;
}