【BZOJ】2286 [Sdoi2011]消耗戰 樹形DP+虛樹

題目傳送門

第一眼就是樹形DP，然而看到數據範圍以後望而卻步……O(n×m) 的時間複雜度實在受不了啊……

觀察數據範圍，發現題目給出的是∑ki≤5×105 ，那我們就要考慮減少每次詢問的時間複雜度，不能是O(n) 的，應該和ki 有關吧。

於是我們就想：有沒有什麼高級的數據結構，可以讓我們的時間複雜度降下來，把多餘的狀態捨去呢？

顯然虛樹滿足了我們的要求。那麼到底什麼是虛樹呢？虛樹又是怎麼構建的呢？

所謂虛樹，其實就是把詢問中需要用到的點建到另一棵樹上，把一部分無效信息刪掉，把一部分信息合併，從而提高查詢的效率。

對於一棵樹上的兩點，顯然只有唯一路徑，那麼我們是不是可以把這一條路徑上的所有信息合併，變成新的樹上連接這兩個點的一條邊呢？這就是虛樹的核心。

然後考慮怎麼建樹：

1. 首先樹根顯然在虛樹中；
2. 其次，如果有兩個關鍵點x,y 在虛樹中，lca(x,y) 也在虛樹中。因爲如果lca(x,y) 不在虛樹中，那麼1→x 的路徑和1→y 的路徑會重複計算1→lca(x,y) 的信息。
3. 考慮用一個棧來維護虛樹中的節點，我們分幾種情況來討論：（設當前棧頂的節點爲top ，棧中第二個節點爲pre ，當前要加入的節點爲x ，lca(top,x) 爲t ，d[] 爲各個節點的深度）
   
   1. top=t ，那麼直接把x 壓入棧中即可。
   2. d[top]>d[t] ，那麼顯然t 需要入棧，這裏又需要分成兩種情況討論：
      
      1. d[pre]>d[t] ，將top 和pre 連邊，重複上一重判斷。
      2. d[pre]≤d[t] ，將top 和t 連邊，將t 和x 依次壓入棧中。

這段寫的可能有些亂，希望各位大佬畫圖理解一下吧。

於是我們用虛樹把樹形DP的時間複雜度降到了O(klog2n) ，這題就可以跑過去了。

附上AC代碼：

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=25e4+10;
struct node{
    int h[N],num;
    struct side{
        int to,w,nt;
    }s[N<<1];
    inline void add(int x,int y,int w){
        if (x==y) return;
        s[++num]=(side){y,w,h[x]},h[x]=num;
    }
}s1,s2;
int n,wz[N],size,d[N],f[N][20],m,a[N],sk[N];
ll w[N];
bool b[N];

inline char nc(void){
    static char ch[100010],*p1=ch,*p2=ch;
    return p1==p2&&(p2=(p1=ch)+fread(ch,1,100010,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}

inline void read(int &a){
    static char c=nc();int f=1;
    for (;!isdigit(c);c=nc()) if (c=='-') f=-1;
    for (a=0;isdigit(c);a=(a<<3)+(a<<1)+c-'0',c=nc());
    return (void)(a*=f);
}

inline void so(int x){
    wz[x]=++size;
    for (int i=1; (1<<i)<=d[x]; ++i) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
    for (int i=s1.h[x]; i; i=s1.s[i].nt)
        if (s1.s[i].to!=f[x][0]){
            d[s1.s[i].to]=d[f[s1.s[i].to][0]=x]+1;
            w[s1.s[i].to]=min(w[x],1ll*s1.s[i].w);
            so(s1.s[i].to);
        }
    return;
}

inline bool cmp(int a,int b){return wz[a]<wz[b];}

inline int lca(int x,int y){
    if (d[x]<d[y]) swap(x,y);
    for (int i=17; i>=0; --i) if (d[f[x][i]]>=d[y]) x=f[x][i];
    if (x==y) return x;
    for (int i=17; i>=0; --i) if (f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
    return f[x][0];
}

inline ll dp(int x){
    if (b[x]) return w[x];ll ret=0;
    for (int i=s2.h[x]; i; i=s2.s[i].nt) ret+=dp(s2.s[i].to);
    return min(w[x],ret);
}

inline void clear(int x){
    for (int i=s2.h[x]; i; i=s2.s[i].nt) clear(s2.s[i].to);
    return (void)(s2.h[x]=0,b[x]=0);
}

int main(void){
    read(n);
    for (int i=1,x,y,v; i<n; ++i) read(x),read(y),read(v),s1.add(x,y,v),s1.add(y,x,v);
    w[1]=1ll<<60,d[1]=1,so(1),read(m);
    while (m--){
        int len,top;read(len),s2.num=0;
        for (int i=1; i<=len; ++i) read(a[i]),b[a[i]]=1;
        sort(a+1,a+1+len,cmp);
        sk[top=1]=1;
        for (int i=1; i<=len; ++i){
            int tmp=lca(a[i],sk[top]);
            while (d[sk[top]]>d[tmp])
                if (d[sk[top-1]]<d[tmp]) s2.add(tmp,sk[top],0),sk[top]=tmp;
                else s2.add(sk[top-1],sk[top],0),--top;
            if (sk[top]!=a[i]) sk[++top]=a[i];
        }
        while (top>1) s2.add(sk[top-1],sk[top],0),--top;
        printf("%lld\n",dp(1)),clear(1);
    }
    return 0;
}