【BZOJ】2286 [Sdoi2011]消耗战 树形DP+虚树

题目传送门

第一眼就是树形DP，然而看到数据范围以后望而却步……O(n×m) 的时间复杂度实在受不了啊……

观察数据范围，发现题目给出的是∑ki≤5×105 ，那我们就要考虑减少每次询问的时间复杂度，不能是O(n) 的，应该和ki 有关吧。

于是我们就想：有没有什么高级的数据结构，可以让我们的时间复杂度降下来，把多余的状态舍去呢？

显然虚树满足了我们的要求。那么到底什么是虚树呢？虚树又是怎么构建的呢？

所谓虚树，其实就是把询问中需要用到的点建到另一棵树上，把一部分无效信息删掉，把一部分信息合并，从而提高查询的效率。

对于一棵树上的两点，显然只有唯一路径，那么我们是不是可以把这一条路径上的所有信息合并，变成新的树上连接这两个点的一条边呢？这就是虚树的核心。

然后考虑怎么建树：

1. 首先树根显然在虚树中；
2. 其次，如果有两个关键点x,y 在虚树中，lca(x,y) 也在虚树中。因为如果lca(x,y) 不在虚树中，那么1→x 的路径和1→y 的路径会重复计算1→lca(x,y) 的信息。
3. 考虑用一个栈来维护虚树中的节点，我们分几种情况来讨论：（设当前栈顶的节点为top ，栈中第二个节点为pre ，当前要加入的节点为x ，lca(top,x) 为t ，d[] 为各个节点的深度）
   
   1. top=t ，那么直接把x 压入栈中即可。
   2. d[top]>d[t] ，那么显然t 需要入栈，这里又需要分成两种情况讨论：
      
      1. d[pre]>d[t] ，将top 和pre 连边，重复上一重判断。
      2. d[pre]≤d[t] ，将top 和t 连边，将t 和x 依次压入栈中。

这段写的可能有些乱，希望各位大佬画图理解一下吧。

于是我们用虚树把树形DP的时间复杂度降到了O(klog2n) ，这题就可以跑过去了。

附上AC代码：

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=25e4+10;
struct node{
    int h[N],num;
    struct side{
        int to,w,nt;
    }s[N<<1];
    inline void add(int x,int y,int w){
        if (x==y) return;
        s[++num]=(side){y,w,h[x]},h[x]=num;
    }
}s1,s2;
int n,wz[N],size,d[N],f[N][20],m,a[N],sk[N];
ll w[N];
bool b[N];

inline char nc(void){
    static char ch[100010],*p1=ch,*p2=ch;
    return p1==p2&&(p2=(p1=ch)+fread(ch,1,100010,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}

inline void read(int &a){
    static char c=nc();int f=1;
    for (;!isdigit(c);c=nc()) if (c=='-') f=-1;
    for (a=0;isdigit(c);a=(a<<3)+(a<<1)+c-'0',c=nc());
    return (void)(a*=f);
}

inline void so(int x){
    wz[x]=++size;
    for (int i=1; (1<<i)<=d[x]; ++i) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
    for (int i=s1.h[x]; i; i=s1.s[i].nt)
        if (s1.s[i].to!=f[x][0]){
            d[s1.s[i].to]=d[f[s1.s[i].to][0]=x]+1;
            w[s1.s[i].to]=min(w[x],1ll*s1.s[i].w);
            so(s1.s[i].to);
        }
    return;
}

inline bool cmp(int a,int b){return wz[a]<wz[b];}

inline int lca(int x,int y){
    if (d[x]<d[y]) swap(x,y);
    for (int i=17; i>=0; --i) if (d[f[x][i]]>=d[y]) x=f[x][i];
    if (x==y) return x;
    for (int i=17; i>=0; --i) if (f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
    return f[x][0];
}

inline ll dp(int x){
    if (b[x]) return w[x];ll ret=0;
    for (int i=s2.h[x]; i; i=s2.s[i].nt) ret+=dp(s2.s[i].to);
    return min(w[x],ret);
}

inline void clear(int x){
    for (int i=s2.h[x]; i; i=s2.s[i].nt) clear(s2.s[i].to);
    return (void)(s2.h[x]=0,b[x]=0);
}

int main(void){
    read(n);
    for (int i=1,x,y,v; i<n; ++i) read(x),read(y),read(v),s1.add(x,y,v),s1.add(y,x,v);
    w[1]=1ll<<60,d[1]=1,so(1),read(m);
    while (m--){
        int len,top;read(len),s2.num=0;
        for (int i=1; i<=len; ++i) read(a[i]),b[a[i]]=1;
        sort(a+1,a+1+len,cmp);
        sk[top=1]=1;
        for (int i=1; i<=len; ++i){
            int tmp=lca(a[i],sk[top]);
            while (d[sk[top]]>d[tmp])
                if (d[sk[top-1]]<d[tmp]) s2.add(tmp,sk[top],0),sk[top]=tmp;
                else s2.add(sk[top-1],sk[top],0),--top;
            if (sk[top]!=a[i]) sk[++top]=a[i];
        }
        while (top>1) s2.add(sk[top-1],sk[top],0),--top;
        printf("%lld\n",dp(1)),clear(1);
    }
    return 0;
}