總結一下MATLAB中求解微分方程的思路和步驟。固然，網上很多關於此類的技術型文章，但往往一看下來發現，文章中的友情鏈接比文章字數還多，要了解這一篇文章，你要先了解那個；要了解那個，你又要了解那個那個；以此類推。瞭解完了，花都謝了。我在這裏要寫的是娛樂型文章，即試圖用最少的字數陳述出MATLAB的求解微分方程方法，看完後可以記得清楚且不亦樂乎。其實個人十分推薦MATLAB中的幫助文件，內容實在是特別給力，簡明的不能再簡明瞭。可惜了是英文寫的，即使是天天要面對英語的我，也頗爲頭疼。那麼以下我將結合我對MATLAB中幫助文檔的理解，提出我對求解最簡單微分方程的方法的總結。以求解一個經典的非線性方程爲例。
做一個最基本的假設：你們都看過高數。
一。老溼發話了：童鞋們，求解一下這個方程，判斷她是否穩定。要是穩定，那麼她是否存在極限環：
一看明白了，這不就是傳說中的範德普方程。地球人都知道她穩定並有極限環。現在我們就看看如何用MATLAB求解她的軌跡。
二。一般的計算機求解方程的方法無外乎是這樣：首先把該方程改寫成一個規範的形式，一般使用狀態空間表示法；而後調用已有的算法進行求解；最後對得出的結果進行處理，比如畫圖之類的。接下來就對這三大步分別作出解釋。
三。輸入待求解的方程。
首先我們知道，狀態空間的標準形式(自由系統)是：
這裏X是列向量，F是作用於列向量的函數，可以是線性也可以是非線性。範德普方程可以改寫成這樣的標準形式:
MATLAB中關於輸入輸入待解方程的語句特別簡單。需要先定義一個普通函數，函數名任意，姑且叫做myFcn，格式如下
function xdot = myFcn (t, x)
需要注意的是，函數必須含有t, x兩個參數，名稱可以自己任意定。xdot是這個函數本身的返回值，只出現在這個函數內部，因此也可以任意定。
定義中的x被視爲是一個列向量，x(i)表示列向量中的第i個分量。那麼F函數的每一個分量即簡單地用表達時給出即可。其中的自變量可以引用x(i)。以範德普方程爲例：
xdot = [x(2) ; u(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]
於是，這兩句話便構成了待解函數。
四。調用MATLAB函數進行求解
通常人工求解微分方程需要知道初始值，計算機求解也不例外。另外，由於非線性方程一般只有數值解，故計算精度也可以調整。這些都是可以自己調整的參數。
調用MATLAB計算求解常微分方程的模式很簡單，格式爲：
[t, x] = ode45(@myFcn, [開始時間 結束時間], [初始值列向量], options)
注意到求解出來的結果是[t, x]即一堆數，所以需要我們進行後處理比如畫圖之類的。
ode45表示了MATLAB中的一種內置計算微分方程的算法，最爲常用，出於娛樂目的，就先用這個。
@表示待求解的方程，如myFcn。
[開始時間 結束時間]表示求解的時間段，不必定義間隔。
[初始值列向量]就不用多說了。通常在求解之前定義一個變量x0列向量表示初始值，然後輸入起來就方便多了。
options本身是一個變量。注意，她的名稱不固定，但是他是一個以結構體爲類型的變量。options很重要，稍後討論。
五。進行後處理。在得到[t, x]後可以自己用plot神馬的進行畫圖。不過我一般不這樣，各位看官不必驚慌。
六。options的用法。
options在MATLAB幫助中是這樣定義格式的：
options = odeset (“Name”, Value, “Name”, Value, …)
意思是，options這個變量要用到odeset這個函數來對他進行賦值。而odeset這個函數的參數必須是成對出現的：一個名稱對應一個數值。
我們要用到的是這樣的：
options= odeset(“OutputFcn”, @odephas2, “reltol”, 1e-5);
注意，odeset中的參數名稱不可任意定，因爲都是預定義好的。”OutputFcn”使用預定義的函數進行輸出，而與定義的函數有好幾種，使用@進行選擇，我們選odephas2即畫相平面圖(phase portrait)。之後的那個參數表示相對誤差的最大允許值，不說也明白。
有一個問題，用odephas2畫出的圖圖不好看，因爲上面打了好多圈圈。解決辦法是找到該文件，修改其中所有的plot語句即可，把那個”-o”去掉就行了。
七。就是這個樣了。總結一下，求解範德普方程可以用如下語句：
首先是函數定義：
function xdot = myFcn (t, x)
xdot = [x(2) ; u(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]
其次是主程序：
% Solving options predetermined
options=odeset('OutputFcn',@odephas2,'reltol',1e-5);
% Solving vdp equation withdifferent ini conditions
for a = -3 : 0.1 : 3
b1=sqrt(25-a^2);
b2=-sqrt(25-a^2);
% Solve the problem
[t,y]=ode45(@myFcn, [0 20], [a b1], options);
hold on
[t,y]=ode45(@myFcn, [0 20] ,[a b2], options);
hold on
end
grid on
