圖像去模糊（維納濾波）

在數學應用上，對於運動引起的圖像模糊，最簡單的方法是直接做逆濾波，但是逆濾波對加性噪聲特別敏感，使得恢復的圖像幾乎不可用。最小均方差（維納）濾波用來去除含有噪聲的模糊圖像，其目標是找到未污染圖像的一個估計，使它們之間的均方差最小，可以去除噪聲，同時清晰化模糊圖像。

定義

給定一個系統

y(t)=h(t)∗x(t)+n(t)

這裏，∗ 是卷積符號

• x(t) 是在時間t 刻輸入的信號（未知）
• h(t) 是一個線性時間不變系統的脈衝響應（已知）
• n(t) 是加性噪聲，與x(t) 不相關（未知）
• y(t) 是我們觀察到的信號
  我們的目標是找出這樣的卷積函數g(t) ，這樣我們可以如下得到估計的x(t) ：
  
  x^(t)=g(t)∗y(t)
  
  這裏x^(t) 是x(t) 的最小均方差估計。
  基於這種誤差度量， 濾波器可以在頻率域如下描述
  
  G(f)=H∗(f)S(f)|H(f)|2S(f)+N(f)=H∗(f)|H(f)|2+N(f)/S(f)
  
  這裏：
• G(f) 和H(f) 是g 和h 在頻率域f 的傅里葉變換。
• S(f) 是輸入信號x(t) 的功率譜。
• N(f) 是噪聲的n(t) 的功率譜。
• 上標∗ 代表複數共軛。
  濾波過程可以在頻率域完成：
  
  X^(f)=G(f)∗Y(f)
  
  這裏 X^(f) 是 x^(t) 的傅里葉變換，通過逆傅里葉變化可以得到去卷積後的結果x^(t) 。

解釋

上面的式子可以改寫成更爲清晰的形式

G(f)=1H(f)⎡⎣⎢|H(f)|2|H(f)|2+N(f)S(f)⎤⎦⎥=1H(f)⎡⎣|H(f)|2|H(f)|2+1SNR(f)⎤⎦

這裏H(f) 是h 在頻率域f 的傅里葉變換。SNR(f)=S(f)/N(f) 是信號噪聲比。當噪聲爲零時（即信噪比趨近於無窮），方括號內各項也就等於1，意味着此時刻維納濾波也就簡化成逆濾波過程。但是當噪聲增加時，信噪比降低，方括號裏面值也跟着降低。這說明，維納濾波的帶通頻率依賴於信噪比。

推導

上面直接給出了維納濾波的表達式，接下來介紹推導過程。
上面提到，維納濾波是建立在最小均方差，可以如下表示：

e(f)=E|X(f)−X^(f)|2

這裏E 是期望
如果我們替換表達式中的X^(f) ，上面可以重新組合成

e(f)=E|X(f)−G(f)Y(f)|2=E|X(f)−G(f)[H(f)X(f)+V(f)]|2=E|[1−G(f)H(f)]X(f)−G(f)V(f)|2

展開二次方，得到下式：

e(f)=[1−G(f)H(f)][1−G(f)H(f)]∗E|X(f)|2−[1−G(f)H(f)]G∗(f)E{X(f)V∗(f)}−G(f)[1−G(f)H(f)]∗E{V(f)X∗(f)}+G(f)G∗(f)E|V(f)|2

然而，我們假設噪聲與信號獨立無關，這樣有

E{X(f)V∗(f)}=E{V(f)X∗(f)}=0

並且我們如下定義功率譜

S(f)=E|X(f)|2N(f)=E|V(f)|2

這樣我們有

e(f)=[1−G(f)H(f)][1−G(f)H(f)]∗S(f)+G(f)G∗(f)N(f)

爲了得到最小值，我們對G(f) 求導，令方程等於零。

d(f)dG(f)=G∗(f)N(f)−H(f)[1−G(f)H(f)]∗S(f)=0

由此最終推出維納濾波器。

測試

Matlab自帶了示例程序，如下

%Read image
I = im2double(imread('cameraman.tif'));
figure,subplot(2,3,1),imshow(I);
title('Original Image (courtesy of MIT)');

%Simulate a motion blur
LEN = 21;
THETA = 11;
PSF = fspecial('motion', LEN, THETA);
blurred = imfilter(I, PSF, 'conv', 'circular');
subplot(2,3,2),imshow(blurred);
title('Blurred Image');

%Restore the blurred image
wnr1 = deconvwnr(blurred, PSF, 0);
subplot(2,3,3),imshow(wnr1);
title('Restored Image');

%Simulate blur and noise
noise_mean = 0;
noise_var = 0.0001;
blurred_noisy = imnoise(blurred, 'gaussian', ...
                        noise_mean, noise_var);
subplot(2,3,4),imshow(blurred_noisy)
title('Simulate Blur and Noise')

%Restore the blurred and noisy image:First attempt
wnr2 = deconvwnr(blurred_noisy, PSF, 0);
subplot(2,3,5);imshow(wnr2);title('Restoration of Blurred, Noisy Image Using NSR = 0')

%Restore the Blurred and Noisy Image: Second Attempt
signal_var = var(I(:));
wnr3 = deconvwnr(blurred_noisy, PSF, noise_var / signal_var);
subplot(2,3,6),imshow(wnr3)
title('Restoration of Blurred, Noisy Image Using Estimated NSR');

維納濾波需要估計圖像的信噪比(SNR)或者噪信比(NSR)，信號的功率譜使用圖像的方差近似估計，噪聲分佈是已知的。從第一排中可以看出，若無噪聲，此時維納濾波相當於逆濾波，恢復運動模糊效果是極好的。從第二排可以看出噪信比估計的準確性對圖像影響比較大的，二排中間效果幾乎不可用。

參考閱讀

http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_deconvolution 英文維基百科
http://www.owlnet.rice.edu/~elec539/Projects99/BACH/proj2/wiener.html 萊斯大學的項目資料

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作者	日期	聯繫方式
風吹夏天	2015年5月29日	[email protected]