容斥原理+快速冪求逆元+lucas

快速冪

ll qm(ll a,ll n)
{
    ll ans=1;
    if(a>=mod)a%=mod;//尤其當a可能爆int時注意先加一個mod
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ans=ans*a%mod;
        }
        n>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}

逆元：inv[i]=qm(i,mod-2);

lucas定理：

設：a>b，且a=a0+a1∗q1+...+ak∗qn$a=a_0+a_1\ast q^1+...+a_k\ast q^n$ ，b=b0+b1∗q1+...+bk∗qn$b=b_0+b_1\ast q^1+...+b_k\ast q^n$

則有Cba=Cb0a0∗Cb1a1∗...Cbkak$C_a^b=C_{a_0}^{b_0}\ast C_{a_1}^{b_1}\ast ...C_{a_k}^{b_k}$

在組合數中規定，若a<b$a<b$ ，那麼Cba=0$C_a^b=0$

結論：如果Cba$C_a^b$ 要爲奇數，則a的每一位必定不小於b，否則出現一項爲0，乘積爲0，即爲偶數；簡單判定：若a&b=b，則Cba$C_a^b$ 爲奇數。

簡單組合數的實現：

ll C(ll n, ll m)//由於m<=20可以最直接求C(n,m)
{
    if(n<m)return 0;
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ans = (n-i+1)%mod*ans%mod*inv[i]%mod;//long long 面前注意寫mod，否則可能wa到懷疑人生
    }
    return ans;
}

lucas:

ll lucas(ll n,ll m)//適合p較小
{
    if(m==0)return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod);
}

codeforce 451E

題意：給定以個數的序列，從這個序列中任意取和爲s的數，求有多少種取法；
題解：容斥原理，對f[i]進行容斥；（奇加偶減）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
ll f[25];
int n;
ll s;
ll inv[30];
ll qm(ll a,ll n)
{
    ll ans=1;
    if(a>=mod)a%=mod;//尤其當a可能爆int時注意先加一個mod
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ans=ans*a%mod;
        }
        n>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}
ll C(ll n, ll m)//由於m<=20可以最直接求C(n,m)
{
    if(n<m)return 0;
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        ans = (n-i+1)%mod*ans%mod*inv[i]%mod;//long long 面前注意寫mod，否則可能wa到懷疑人生
    }
    return ans;
}
ll lucas(ll n,ll m)//適合p較小
{
    if(m==0)return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod);
}
ll ans;
void dfs(int cur,ll sum,int flag)
{
    if(sum>s)return ;
    if(cur==(n+1))
    {
        ans+=flag*lucas(s-sum+n-1,n-1);//隔板法
        ans%=mod;
        return ;
    }
    dfs(cur+1,sum,flag);
    dfs(cur+1,sum+f[cur]+1,-flag);
}
int main()
{
    for(int i=1;i<=20;i++)
    {
        inv[i]=qm(i,mod-2);
    }
    scanf("%d%lld",&n,&s);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&f[i]);
    }
    ans=0;
    dfs(1,0,1);
    printf("%d\n",(ans%mod+mod)%mod);
    return 0;
}