2月27日 grid（卡特蘭數+費馬小定理求乘法逆元）

一道組合問題，catalan數可以計算入棧出棧合法序列數，具體推導可以參考專題博客。
求逆元主要是因爲取模運算（catalan數很大）中含有除法，這裏用費馬小定理求乘法逆元，ap−1≡1(modp) ，所以有ap−2≡a−1(modp) ，即ap−2modp=a−1 ，用快速冪求解。
問題描述：
度度熊最近很喜歡玩遊戲。這一天他在紙上畫了一個2行N列的長方形格子。他想把1到2N這些數依次放進去，但是爲了使格子看起來優美，他想找到使每行每列都遞增的方案。不過畫了很久，他發現方案數實在是太多了。度度熊想知道，有多少种放數字的方法能滿足上面的條件？
Input
　　第一行爲數據組數T(1<=T<=100000)。
　　然後T行，每行爲一個數N(1<=N<=1000000)表示長方形的大小。
Output
　　對於每組數據，輸出符合題意的方案數。由於數字可能非常大，你只需要把最後的結果對1000000007取模即可。
Sample Input
2
1
3
Sample Output
Case #1:
1
Case #2:
5
代碼：

#include<cstdio>
#define ll long long
ll cata[1000002];
#define MAXNUM 1000000
#define mod 1000000007
ll fast_pow(ll a, ll b, ll p)
{
    a %= p;
    ll tmp = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)tmp = (tmp*a) % p;
        a = (a*a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return tmp;
}
ll inv(ll a, ll p)
{
    return fast_pow(a, p - 2, p);
}
void ini()
{
    cata[0] = 1;
    for (ll i = 0; i <MAXNUM; i++)
    {
        cata[i + 1] = ((cata[i] * (4 * i + 2)) % mod*inv(i+2,mod))%mod;
    }
}
int main()
{
    ll n,N;
    scanf("%lld", &n);
    ini();
    for (ll i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld", &N);
        printf("Case #%lld:\n%lld\n",i, cata[N]);
    }
    return 0;
}

注意幾點：
1 一次性初始化，否則會tle。
2 long long型有必要
3 快速冪注意b>>=1，第一次忘記了=號，死循環。