歐幾里德算法GCD

歐幾里德算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a，b的最大公約數。其計算原理依賴於下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

證明：a可以表示成a = kb + r（餘數），則r = a mod b

假設d是a,b的一個公約數，則有

d|a（d能整除a）, d|b（d能整除b），而r = a - kb（假設a = md，b = nd，所以r = a - kb = （m-nk）d），因此d|r

因此d是(b,a mod b)即（b,r）的公約數

同理：假設d 是(b,a mod b)的公約數，則

d | b ， d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公約數

因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。

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以下是核心代碼：

int gcd(int a , int b)      //遞歸法：歐幾里得算法，計算最大公約數
{
    return a==0?b:gcd(b%a,a);
}