爲什麼樣本均值服從正態分佈？

原創

2020-02-21 10:55

1. 如何理解分佈的特徵函數？

如何確認兩個隨機變量的分佈相同，在不知道這兩個隨機變量的分佈的情況下。

根據類比兩個背影是否是同一個人，那麼對比這兩個背影的特徵：身高，髮色，腰圍，。。。

那麼對比這兩個隨機變量的分佈，我們也要對比他們的特徵：一階距，二階矩。。。。

有沒有一個函數可以把這些距都包含起來：有， $E(e^{iX})$

$\psi_X(t)=E(e^{itX})=E(1+itX+\frac{(itX)^2}{2}+....+\frac{(itX)^n}{n!}+o((itX)^n))\\ =1+itE(X)-t^2\frac{E(X^2)}{2}+....+t^n\frac{(i)^nE(X^{n})}{n!}+o(t^n(i)^nE(X^n))$

因此 $\psi_X(t)$ 相同 ——》各階距相同——》各個特徵相等——》分佈相同

2. 1講了如何通過比較不同分佈的 $\psi _X(t)$ 來比較各階距，從而比較分佈是否相同。接下來我們來看 $\psi _X(t)$ 的真正意義是什麼

$\psi _X(t) = E(e^{itX})=\int_{-\varpi }^{+\varpi }f(x)e^{itx}dx$ ， $t\in (-\varpi ,+\varpi )$

上面公式很像共軛傅里葉變換。即將函數換了一組函數基來表示（ $e^{itX}$ ）, $\psi _X(t)$ 是在這組基的下的座標。

3. 傅里葉變換是什麼？

見下篇。

4. 證明

https://blog.csdn.net/Daisy__Ben/article/details/49822449

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