矩陣第一講

矩陣

特殊矩陣

1.零矩陣
    所有矩陣的所有元素全都爲0
2.對角矩陣
    一個n階方陣除對角線上的所有元素都爲0
2.數量矩陣
    對角矩陣中對角線上元素爲常數，
3.單位矩陣
    數量矩陣中對角線上上常數爲1.
4.行階梯矩陣
    一個矩陣的每個非零行（元素不全爲零）的非零首元（第一個非零元素）所在列的下標隨着行標的增大，並且嚴格增大。並且元素全爲0的行（如果有點話）均在非零行的下方。
5.行最簡矩陣
    一個行階梯形矩陣的每一個非零行的非零首元爲1，且此非零首元的所在列其餘元素均爲0.
6.三角矩陣
    一個方陣的主對角線上（下）的元素都爲0，則此矩陣稱爲上（下）三角矩陣，統稱爲三角矩陣

矩陣的基本運算

1.加
2.減
3.乘
每一行乘以每一列，第一行乘以所有列得出新的一行。滿足結合律、分配律。
4.矩陣的轉置
把矩陣A的行依次換成同序數的列得到的 矩陣稱爲矩陣A的轉置矩陣A^T

分塊矩陣

基本概念：對於階數比較高矩陣A，在計算過程中經常採用“矩陣分塊法”，他可以使矩陣化爲較低階矩陣的運算。

常用的分塊矩陣

1.按列分塊
2.按行分塊

基本運算

1）分塊矩陣的加法
2）分塊矩陣的數乘
3）分塊矩陣的乘法

矩陣及分塊矩陣的應用

1.線性方程組的表示形式

設線性方程組`T`

⎧⎩⎨⎪⎪a11x1an1x1++a12x2an2x2++⋯⋮⋯+a1nxn+annxn==b1bn

令A=

⎛⎝⎜⎜a11an1a12an2⋯⋮⋯a1manm⎞⎠⎟⎟

X=

⎛⎝⎜⎜x1⋮xn⎞⎠⎟⎟

b=

⎛⎝⎜⎜b1⋮bn⎞⎠⎟⎟

則可以用AX=b來表示線性方程組T。

2.線性變換

n個變量x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>....x<sub>n</sub>與m個變量y<sub>1</sub>,y<sub>2</sub>....y<sub>m</sub>之間的關係式

⎧⎩⎨⎪⎪a11x1an1x1++a12x2an2x2++⋯⋮⋯+a1nxn+annxn==y1yn

令A=

⎛⎝⎜⎜a11an1a12an2⋯⋮⋯a1manm⎞⎠⎟⎟

X=

⎛⎝⎜⎜x1⋮xn⎞⎠⎟⎟

b=

⎛⎝⎜⎜y1⋮yn⎞⎠⎟⎟

則可以用y=AX來表示線性方程式。當A=

(cosθsinθ−sinθcosθ)

是，y=Ax是旋轉變化，即

{cos（θ）x1sin（θ）x1−+sin（θ）x2cos（θ）x2==y1yn

可以將平面上的任意點P(x₁,x₂)旋轉到P’（y₁,y₂）。

初等變換和初等矩陣

初等變換

矩陣的下面三種變換統稱爲矩陣的初等變換：
1.交換矩陣的第i,j兩行（列）記作r_i <->r _j(c_i <->c _j)
2.用不爲0的數k去乘矩陣的第i行（列），記作kr_i（kc_i）
3.把矩陣的第j行（列）乘以數k加到第i行（列），記作r_i+kr_j(c_i+kc_i)
上面三種變換分別稱爲對換變換、倍乘變換和倍加計算。初等行、列變換統稱爲初等變換。

逆矩陣

矩陣AB=BA=E，則說明B是A的逆矩陣，記作A’.並非所有的非零方陣都是可逆的。

矩陣的行列式

餘子式：把n階行列式|A|中的元素a_ij所在的第i行與第j列刪去後，剩下的n-1階行列式稱爲元素a_ij的餘子式M_ij。
代數餘子式:將（-1）^i+jM_ij稱作代數餘子式。
伴隨矩陣：將矩陣A中的所有元素a_ij求出代數餘子式，並替換。

矩陣的秩

k階非零子式：設A爲m*n矩陣，在矩陣A中任取k行k列（k<=m&&k<=n）,位於這些行列 相交處的元素按照原來的順序所組成的k階行列式，稱爲矩陣A的k階子式。
定義：設A爲n階方陣，如果|A|！=0，稱A爲非奇異矩陣，如果r（A）=n,稱A爲滿秩矩陣。