【poj3070】 Fibonacci 【矩陣乘法】

講解：點擊打開鏈接

Fibonacci

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Description

In the Fibonacci integer sequence, F₀ = 0, F₁ = 1, and F_n = F_{n − 1} + F_{n − 2} for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

An alternative formula for the Fibonacci sequence is

.

Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of F_n.

Input

The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.

Output

For each test case, print the last four digits of F_n. If the last four digits of F_n are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print F_n mod 10000).

Sample Input

0
9
999999999
1000000000
-1

Sample Output

0
34
626
6875

Hint

As a reminder, matrix multiplication is associative, and the product of two 2 × 2 matrices is given by

.

Also, note that raising any 2 × 2 matrix to the 0th power gives the identity matrix:

.

題目描述 
斐波那契數列是由如下遞推式定義的數列 
F0=0 
F1=1 
Fn+1=Fn+1+Fn 
求這個數列第n項的值對104取餘後的結果。 
限制條件 
⋅ 0⩽n⩽1016

    我也是剛剛纔搞懂了矩陣乘法(如果你不知道什麼是矩陣乘法的話,右轉百度百科)，於是來應用一下新知識，如有表述不到位的地方請見諒。 
下面進入正文

首先，我們先介紹一下對於斐波那契數列如何求解。把斐波那契數列的遞推式表示成矩陣就得到下面的式子 
(Fn+2Fn+1)= (1110)(Fn+1Fn)

我們發現式子裏有個固定的矩陣 (1110)

記這個矩陣爲A，則有 
(Fn+1Fn)=An(F1F0)=An(10)

因此只要求出An就可以求出Fn了。關於An的計算我們可以採用類似快速冪的算法,在O(logn)時間裏求出第n項的值。（轉自：點擊打開鏈接）

#include<cstdio>
 
int n,a[2][2],b[2][2];
 
void mul(int a[2][2],int b[2][2],int ans[2][2])
{
    int t[2][2];
    for (int i=0;i<2;i++)
        for (int j=0;j<2;j++) 
		{
            t[i][j]=0;
            for (int k=0;k<2;k++) 
			t[i][j]=(t[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%10000;
        }
    for (int i=0;i<2;i++)
        for (int j=0;j<2;j++) 
		ans[i][j]=t[i][j];
}
void pow(int k) 
{
    while (k) 
	{
        if (k%2==1) 
		mul(a,b,b);
        k/=2;
        mul(a,a,a);
    }
}
int main() 
{
    while (scanf("%d",&n)!=EOF) 
	{
        if (n==-1) 
		break;
        a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=1;a[1][1]=0;
        
        b[0][0]=b[1][1]=1;
        b[1][0]=b[0][1]=0;
        
        pow(n);
        printf("%d\n",b[1][0]);
    }
    return 0;
}

這道題還碰見一種神奇的操作，我還沒理解到底是什麼規律。。

來自：（點擊打開鏈接）

#include<stdio.h>
int a[100050];
void f() 
{
	a[0] = 0;
	a[1] = 1;
	for (int i  = 2; i <= 100050; i ++) 
	{
		a[i] = (a[i - 1] + a[i - 2]) % 10000;
	}
}
int main () 
{
	int n;
	while (scanf("%d", &n) != EOF) 
	{
		if(n == -1) break;
		f();
		printf("%d\n", a[n % 15000]);
	}
	return 0;
}