數字劃分類 dp

原創

wodasini

2020-02-21 12:19

轉載自 http://www.cnblogs.com/wanghetao/archive/2013/11/25/3442192.html

整數劃分－－－一個老生長談的問題:

描述

整數劃分是一個經典的問題。請寫一個程序,完成以下要求。

輸入

每組輸入是兩個整數n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

輸出

對於輸入的 n,k;
第一行：將n劃分成若干正整數之和的劃分數。
第二行：將n劃分成k個正整數之和的劃分數。
第三行：將n劃分成最大數不超過k的劃分數。
第四行：將n劃分成若干個奇正整數之和的劃分數。
第五行：將n劃分成若干不同整數之和的劃分數。
第六行：打印一個空行

樣例輸入

5 2

樣例輸出

提示

樣例輸出提示:
1.將5劃分成若干正整數之和的劃分爲： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.將5劃分成2個正整數之和的劃分爲： 3+2, 4+1
3.將5劃分成最大數不超過2的劃分爲： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.將5劃分成若干奇正整數之和的劃分爲： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.將5劃分成若干不同整數之和的劃分爲： 5, 1+4, 2+3

下面是我根據網上的資料, 寫出自己的分析和實現過程.

分析:

本題使用動態規劃（Dynamic Programming）方法解決

一求將n劃分爲若干正整數之和的劃分數

1. 若劃分的多個整數可以相同

　　設dp[i][j]爲將i劃分爲不大於j的劃分數

　　(1) 當i<j 時，i不能劃分爲大於i的數，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 當i>j 時，可以根據劃分中是否含有j分爲兩種情況。若劃分中含有j，劃分方案數爲dp[i-j][j]；若劃分數中不含j，相當於將i劃分爲不大於j-1的劃分數，爲dp[i][j-1]。所以當i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；

　　(3) 當i=j 時，若劃分中含有j只有一種情況，若劃分中不含j相當於將i劃分爲不大於j-1的劃分數。此時dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。

dp[n][n]可以解決問題1，dp[n][k]表示將n劃分爲最大數不超過k的劃分數，可以解決問題3。

2.若劃分的正整數必須不同

　　設dp[i][j]爲將i劃分爲不超過j的不同整數的劃分數

　　(1) 當i<j時，i不能劃分爲大於i的數，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 當i>j時，可以根據劃分中是否含有j分爲兩種情況。若劃分中含有j，則其餘的劃分中最大隻能是j-1，方案數爲dp[i-j][j-1]；若劃分中不含j，相當於將i劃分爲不大於j-1的劃分數，爲dp[i][j-1]。所以當i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；

　　(3) 當i=j時，若劃分中含有j只有一種情況，若劃分中不含j相當於將i劃分爲不大於j-1的劃分數。此時dp[i][j]=1+dp[i][j-1]

dp[n][n]表示將n劃分爲不同整數的劃分數，可以解決問題5.

二將n劃分爲k個整數的劃分數

設dp[i][j]爲將i劃分爲j個整數的劃分數。

　　(1) i<j爲不可能出現的情況，dp[i][j]=0；

　　(2) 若i=j，有一種情況：i可以劃分爲i個1之和，dp[i][j]=1；

　　(3) 若i>j，可以根據劃分數中是否含有1分爲兩類：若劃分數中含有1，可以使用“截邊法”將j個劃分分別截去一個1，把問題轉化爲i-j的j-1個劃分數，爲dp[i-j][j-1]；若劃分中不包含1，使用“截邊法”將j個劃分數的最下面一個數截去，將爲題轉化爲求i-j的j個劃分數，爲dp[i-j][j]。所以i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。

dp[n][k]爲將n劃分爲k個整數的劃分數，可解決問題2。

三將n劃分爲若干正奇數之和的劃分數

設f[i][j]爲將i劃分爲j個奇數之和的劃分數，g[i][j]爲將i劃分爲j個偶數之和的劃分數。

使用截邊法，將g[i][j]的j個劃分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以

g[i][j]= f[i-j][j]。

f[i][j]中有包含1的劃分方案和不包含1的劃分方案。對於包含1的劃分方案，可以將1的劃分除去，轉化爲“將i-1劃分爲j-1個奇數之和的劃分數”，即f[i-1][j-1]；對於不包含1的劃分方案，可以使用截邊法對j個劃分每一個都去掉一個1，轉化爲“將i-j劃分爲j個偶數之和的劃分數”，即g[i-j][j]。