LIS (最長上升字序列） nlgn 解法

LIS， 一道比較經典的動態規劃題目。

對於長爲n的序列 F[n] = max｛F[k] + 1,F[n] | if arr[k] < arr[n] }

時間複雜度 O(N^2) 線性空間。

最近看到網上的一種 nlgn的解法，深受啓發：

思路是這樣的：

        令一個數組 pos[x] 來表示上升序列中第i個數字最小是多少。

         從 arr[i] ~arr[n] 遍歷一遍，過程如下：

       

      （1） i = 1 pos[1] = arr[i];

    （2）如果 arr[i] > pos[cnt] (cnt表示當前標記數量)  則 pos[++cnt] = arr[i]  因爲大，所以往後記一位。

      （3）如果上述情況都不滿足，那麼就在 pos[0]~pos[cnt] 中尋找與他最相鄰的兩個位置，把較大者“替換”爲自己。

       因爲是個單調數組 ，二分法適合。

     綜上所述過程時間複雜度 (NlgN),線性空間。

     不過注意的是 pos[1~n] 不一定爲（通常不爲）所求的最長上升序列，他只是表示了第i個元素的最小值，如果需要構造解，則需要從頭遍歷一遍，對於第i個數字，如果滿足

    B[now] <=  arr[i]  < B[now+1] 即可把 arr[i] 作爲上升序列中的第Now個元素。

   無論如何，cnt到最後的值確確實實等於序列的長度。

#include <iostream> 
#include <fstream>
#define N  600000
using namespace std;
int arr[N];
int B[N];
int cnt = 0;
ifstream fin ("LCSin.txt");
ofstream fout("LCSout.txt");

int b_search(int x)
{
  int s = 0 , t = cnt;
  while(s < t)
  {
  	 int q = (t + s) / 2;
     if (B[q] >= x) t = q;
     else s = q + 1;
  }
  return s;
  	
}

int main()
{
	int n;
	fin >> n;
	for (int i = 1 ;i <= n ; ++i)
	  fin >> arr[i];
	B[1] = arr[1];
	cnt = 1;
	for (int i = 2; i <= n ; ++i)
	{
		if(arr[i] > B[cnt])
		  B[++cnt] = arr[i];
		else
		{
			int j = b_search(arr[i]);
			B[j] = arr[i];
		}
	}
	
	fout << cnt << endl;
	fin.close();
	fout.close();
}