歐拉函數、歐拉定理

歐拉定理

$a^{φ(n)}\equiv1(mod\ n)$,a與n互質時成立。

歐拉函數

上式中的$φ(n)$爲歐拉函數，即區間$\left[1,n\right)$內與 $n$ 互質（什麼是互質，即兩個數的公因子只有1）的數的個數。
$φ(n)=n*\prod_{i=1}^{m}{(1-\frac{1}{b_i})}$,$b_i$爲質因子。
當n爲質數時$φ(n)=n-1\Rightarrow$$a^{n-1}\equiv1(mod\ n)$,這個就是費馬小定理（a與n互質時成立）。
代碼：

int eular(int x)//歐拉函數
{
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            x/=i;
            ans-=ans/i;
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)ans-=ans/x;
    return ans;
}

歐拉函數的幾個性質

1.當n爲質數時$φ(n)=n-1$
2.由積性函數的性質知：若m，n互質$φ(mn)=φ(m)*φ(n)$
3.若n爲質數p的k次冪，$φ(n)=p^{k}-p^{k-1}$
4.當n爲奇質數時，$φ(2n)=φ(n)$

來個例題：HDU GCD Again

題目大意：給一個數n，問在區間$\left(1,n\right)$內有多少數個數與n的最大公約數大於1.
思路：利用歐拉函數，因爲$φ(n)$是在區間$\left[1,n\right)$內與n互質的個數，兩個數互質就說明兩個數的最大公因數爲1，那麼在區間$\left[1,n\right)$其他的數與n的最大公因數就肯定不爲1。舉個例子：在區間$\left[1,12\right)$內，與12互質的數爲：1、5、7、11。那就好辦了。就求出$φ(n)$，然後ans=(n-1)-$φ(n)$
代碼：

#include<cstdio>
#include<set>
#include<map>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long eular(long long x)
{
    long long ans=x;
    for(long long i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            x/=i;
            ans-=ans/i;
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)ans-=ans/x;
    return ans;
}
int main()
{
    long long n;
    while(scanf("%lld",&n)&&n)
    {
        long long ans=(n-1)-eular(n);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

下面是一些代碼（非原創，看博客學習的）

const int maxn=1e4+10;
long long POW(long long a,long long b,long long mod)//快速冪
{
    long long  ans=1,base=a;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*base)%mod;
        base=(base*base)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}


int eular(int x)//歐拉函數
{
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            x/=i;
            ans-=ans/i;
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)ans-=ans/x;
    return ans;
}


int e[maxn];
void eular ()//打表歐拉函數
{
    for(int i=1;i<=maxn;i++)
        e[i]=i;
    for(int i=2;i<=maxn;i++){
        if(e[i]==i){
            for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
                e[j]-=e[j]/i;
        }
    }
}


int prime[MAXN];//埃篩
bool vis[MAXN];
int cou = 0;
void ai()
{
    cou = 0;
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<=MAXN;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++cou]=i;
            for(int j=2*i;j<=MAXN;j+=i)
                vis[j]=1;
        }
    }
}

void make_prime()//線性篩
{
     cou = 0;
     memset(prime,0,sizeof(prime));
     memset(vis,0,sizeof(vis));
     vis[0]=vis[1]=1;//0和1不是素數
     for(int i=2;i<=MAXN;i++)
     {
          if(!vis[i])
               prime[++cou]=i;//記錄素數
          for(int j=1;j<=cou;j++){
            if(i*prime[j]>MAXN)break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
          }
     }
}