第六章 樣本和抽樣分佈

∮1.隨機樣本

1. 總體：某項數量指標X的全體
2. 樣本：如果x1,x2,x3,⋯,xn, 相互獨立且與總體X同分布則稱x1,x2,x3,⋯,xn, 爲來自總體的簡單隨機樣本。

∮3抽樣分佈

統計量是統計理論中用來對數據進行分析、檢驗的變量。宏觀量是大量微觀量的統計平均值，具有統計平均的意義，對於單個微觀粒子，宏觀量是沒有意義的．相對於微觀量的統計平均性質的宏觀量也叫統計量．需要指出的是，描寫宏觀世界的物理量例如速度、動能等實際上也可以說是宏觀量，但宏觀量並不都具有統計平均的性質，因而宏觀量並不都是統計量．數理統計的基本概念。指不含未知參數的樣本函數。如樣本x1，x2，…，xn的算術平均數(樣本均值)＝1n(x1+x2+…+xn)就是一個統計量。從樣本構造統計量，實際上是對樣本所含總體的信息提煉加工；根據不同的推斷要求，可以構造不同的統計量。

在抽樣分佈提到了一個觀察值的概念這個概念，我所理解的是：它是由統計量函數應用到實際的“微觀”概念。
樣本均值、樣本方差、樣本標準差、樣本k階矩，樣本k階中心矩，

爲什麼樣本方差（sample variance）的分母是 n-1？

經驗分佈函數:

對於經驗函數有一個已被證明的結論，當樣本數趨近於無窮時，經驗函數以概率1一致的收斂於分佈函數F(x);

χ2分布

χ2分布的性質：

由Γ分佈的可加性易得，
1. χ2 的可加性：
χ21 ~ χ2 ， χ22 ~ χ2 ,並且χ21 ，χ22 相互獨立則有：
χ21+χ22 ~ χ2(n1+n2)
2. χ2 的期望和方差：

E(χ2)=n,D(χ2)=2n

3. χ2 的上分位點：
對於給定α,0<α<1滿足條件：

P{χ2>χ2a(n)}=∫∞χ2a(n)f(y)dy=α

對於樣本數充分大的時候，近似有

χ2a(n)≈12(zα+2n−1−−−−−√)2

其中zα 是正態分佈上α的分位點。zα=Φ−1(1−α)

other

由於卡方分佈的前提是正太分佈，因此卡方分佈中關於分位點的計算一定涉及到非正太分佈到正太分佈的轉換，如下：

t分佈

定義：

設X 服從標準正態分佈N(0,1) ，Y 服從自由度爲n的χ2 分佈，且X1,X2 相互獨立，則稱變量

t=XYn−−√

所服從的分佈爲自由度爲n的t分佈。

圖像：

期望:

E(T)=0

方差:

D(T)=n/(n-2),n>2
##other
t分佈很有意思，因爲當n很大時，t分佈類似於標準正態分佈的圖形，也就是說對概率密度取n的極限時，
(1+x2n)−(n+1)2 爲1∞ 所以其和e−t22 等價，所以概率密度左側等價於12π√

F分佈

定義

設U服從自由度爲n1 的χ2 分佈,V服從自由度爲n2 的χ2 分佈，且U，V相互獨立，則稱變量F=U/n1V/n2 所服從的分佈爲F分佈，其中第一自由度爲n1 ,第二自由度爲n2 .

圖像

性質

1. 期望E(F)=n/(n-2)，方差D(F)=2n^2(m+n-2)/m(n-2)^2(n-4)
2. 若F~F(m,n)，則1/F~F(n,m)
3. 若F~F(1,n)，T~T(n)，則F=T^2

正太總體的樣本均值與樣本方差的分佈

在這一節，先證明了樣本均值的期望與樣本均值方差與正太總體樣本均值的異同：

E(x)=μ，D(x)=σ2n

1. 當樣本均值的方差僅爲總體方差的1n
2. 當樣本容量增大時，樣本均值的方差遠小於總體的方差。
3. 樣本均值的期望與總體方差大小相等
   概率密度爲偶函數的數學期望必爲0.

然後由，正態分佈的可加性可知，

定理一

若x0,x1,x2,x2,x2,來自N(μ，σ2)的樣本， x 是樣本的平均值，則有
x ~N(μ，σ2/n)

定理二

若x0,x1,x2,x2,x2,來自N(μ，σ2)的樣本， x，S2 是樣本的平均值和方差，則有
1. (n−1)S2σ2 ~χ(n−1)
2. x 與S2 相互獨立

定理三

x−μσ/n√ N(0,1)

對於兩個正態總體的樣本均值和樣本方差有定理四

定理四

正態分佈可加性：
若x1 ~ N(μ，σ2i),i=1,2,3,4,5,⋯,n 且他們相互獨立，則它們的線性組合：
C1X1+C2X2+C3X3+⋯+CnXn ~ N(∑ni=1Ciμi,∑ni=1C2iμ2i)