高等數學-【3.1-4】微分中值定理與導數的應用

費馬引理：

設函數 f(x) 在點x0 的某鄰域U(x0) 內有定義，並且在x0 處可導，如果對任意x∈U(x0) 有 f(x)<f(x0) ,
則有
f′(x0)=0

羅爾定理：

如果 f(x) 滿足：
1. 在閉區間 [a,b] 上連續
2. 在開區間 (a,b) 上可導
3. 在端點處的函數值相等f(a)=f(b)
那麼在(a,b) 內至少有一點ξ(a<ξ<b) 使得f′(ξ)=0

羅爾定理一個不好的地方就條件中端點處的函數值必須相等，拉格朗日中值定理就沒有這個問題

拉格朗日中值定理

如果函數f(x) 滿足：
1. 在[a,b] 上連續
2. 在(a.b) 上可導
那麼在(a,b) 內至少有一點ξ(a<ξ<b) 使得f(a)−f(b)=f′(ξ)(a−b)

柯西中值定理

設函數f(x)，g(x) 滿足：
1. 在[a,b] 內連續
2. 在(a,b) 內可導
3. 對任意x∈(a,b)g′(x)≠0
那麼在(a,b)內必存在有一點ξ=(a,b) 使得[f(a)−f(b)]/[g(a)−g(b)]=f′(ξ)/g(ξ) 成立

洛必塔法則

洛必塔法則的前提：未定式

未定式：

未定式是指如果當x→x0 (或者x→∞ )時，兩個函數f(x)與g(x)都趨於零或者趨於無窮大，那麼極限lim[f(x)/g(x)] (x→x0 或者x→∞ )可能存在，也可能不存在，通常把這種極限稱爲未定式

洛必塔法則：

1)
1. 當x→x0 時，函數f(x) 及F(x) 趨近於0；
2. 當|x| >N時，f′(x) 與F′(x) 均存在且F′(x)≠0
3. limx→x0f′(x)F′(x) 存在或爲無窮大。
那麼

limx→x0f(x)F(x)=limx→x0f′(x)F′(x)

2)
1. 當x→∞ 時，函數f(x) 及F(x) 趨近於0；
2. 當|x| >N時，f′(x) 與F′(x) 均存在且F′(x)≠0
3. limx→∞f′(x)F′(x) 存在或爲無窮大。
那麼

limx→∞f(x)F(x)=limx→∞f′(x)F′(x)

泰勒公式

如何理解泰勒公式