位運算主要知識

什麼是位運算？ 

程序中的所有數在計算機內存中都是以二進制的形式儲存的。位運算說穿了，就是直接對整數在內存中的二進制位進行操作。 
C++提供了6種位運算符來進行位運算操作：
&      按位與
|      按位或
^      按位異或
~      按位取反
<<     左移（左邊消失，右邊補0）
>>     右移（右邊消失，左邊補符號位）
位運算的操作數是整數類型或字符型.

按位與&運算

將參與運算的兩操作數各自對應的二進制位進行與操作。例如：6的二進制是110，11的二進制是1011，那麼6 & 11的結果就是2 
    110

&  1011

------------

   0010  -->  2
& 運算常常用來將某變量的某些位清0，而保留其它位不變。例如，需要將int型變量n的低8位全置成0，而其餘位不變，則用：
       n = n & 0xFFFFFF00
& 也常用於二進制取位操作，例如一個數 & 1的結果就是取二進制的最末位。如果要判斷n的第8位（從右往左，從1開始數）是否是1，則用：
             if (n & 0x80 == 0x80)  語句
附註：int型是32個二進制位，16進制整數每個數字代表4個二進制位，故16進制int型常量最多是8位。

按位或|運算

 ｜運算通常用於二進制特定位上的強制置1，例如一個數或 1的結果就是把二進制最末位強行變成1。
      110

|    1011

------------

     1111 -->  15

按位異或^運算

0^0=0  0^1=1  1^1=0
^運算通常用於對二進制的特定一位進行取反操作.例如n^0xff就使得n的最後8位取反。
    110

^  1011

-----------

   1101   -->  13
^運算的特點是：如果a^b==c,則有a^c==b和c^b==a
^可用於簡單加密，參見顧森BLOG。

左移<<運算

 a << b就表示把a轉爲二進制後左移b位（在後面添b個0）。例如100的二進制爲1100100，而110010000轉成十進制是400，那麼100 << 2 = 400。可以看出，a << b的值實際上就是a乘以2的b次方，因爲在二進制數後添一個0就相當於該數乘以2(這樣做要求保證高位的1不被移出)。
通常認爲a << 1比a * 2更快，因爲前者是更底層一些的操作。因此程序中乘以2的操作請儘量用左移一位來代替。
定義常量時可以用<<運算。你可以方便地用(1 << 16) - 1來表示65535。很多算法和數據結構要求數據規模必須是2的冪，此時可以用<<來定義MAXN等常量。

右移>>運算

a >> b表示二進制右移b位（去掉末b位）。
當a是正整數時，a>>b等價於a/(2的b次方)
當a是負整數時，a>>b並不等價與a/(2的b次方)，而是等於a/(2的b次方)上取整。
如a=-9
cout<<a/2; //輸出-4.
cout<<(a>>1); //輸出-5.

我們也經常用>> 1來代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。
用>>代替除法運算可以使程序效率大大提高。最大公約數的二進制算法用除以2操作來代替慢得出奇的%運算，效率可以提高60%。
二進制求最大公約數原理。
若a<b         gcd(a,b)=gcd(b,a)
若a、b都是偶數，則gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2)
若a是奇數、b是偶數，則gcd(a,b)=gcd(a,b/2)
若a、b都是奇數，則gcd(a,b)=gcd((a-b)/2,b)

位運算的簡單應用 

整數類型的儲存 

計算機用0x0000到0x7FFF依次表示0到32767的數，剩下的0x8000到0xFFFF依次表示-32768到-1的數。32位有符號整數的儲存方式也是類似的。稍加註意你會發現，二進制的第一位是用來表示正負號的，0表示正，1表示負。這裏有一個問題：0本來既不是正數，也不是負數，但它佔用了0x0000的位置，因此有符號的整數類型範圍中正數個數比負數少一個。對一個有符號的數進行~運算後，最高位的變化將導致正負顛倒，並且數的絕對值會差1。也就是說，~ a實際上等於-a-1。這種整數儲存方式叫做“補碼”。
換言之，~a+1 = -a，那麼a & -a得到什麼？
得到a的右數第1位爲1的數，這個操作可用來枚舉a中爲1的位，這在位操作中有較多應用。