51nod 1225 餘數之和 （分塊思想）

1225 餘數之和

基準時間限制：1 秒 空間限制：131072 KB 分值: 80 難度：5級算法題

F(n) = (n % 1) + (n % 2) + (n % 3) + ...... (n % n)。其中%表示Mod，也就是餘數。 

例如F(6) = 6 % 1 + 6 % 2 + 6 % 3 + 6 % 4 + 6 % 5 + 6 % 6 = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3。

給出n，計算F(n), 由於結果很大，輸出Mod 1000000007的結果即可。

Input

輸入1個數N(2 <= N <= 10^12)。

Output

輸出F(n) Mod 1000000007的結果。

Input示例

6

Output示例

3

思路：取餘之後的數字是有規律的，比如說n=20的時候：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0 0 2 0 0 2 6 4 2   0   9   8  7   6   5   4   3   2   1  0

每一個下劃線上的幾個餘數都是一個等差數列（可以O(1)求出），

由下劃線的第一個數字就可以求出最後一個數字，比如說7到10這一段，20/7=20/10,所以這些是一段，20/11=20/20

所以11到20是一段。假如說第一個數字是i，那麼這段的最後一個就是20/(20/i),個數是20/(20/i)-i+1；

然後等差數列公式求出即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<string>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define LL long long
const LL mod=1e9+7;
using namespace std;
LL n;
LL F(LL &i)//i用引用
{
    LL j=i;//開頭
       i=n/(n/i);//末尾
    LL sum=(i-j+1)%mod;//個數
    return (n%i+n%j)%mod*sum%mod*(500000004LL)%mod;//除2應該變成*500000004LL
}
int main()
{
    scanf("%I64d",&n);
    LL sum=0;
    for(LL i=2;i<=n;i++)
    {
        sum+=F(i);
        sum%=mod;
    }
    printf("%I64d\n",sum);
}