算法導論22.5-7 給出一個算法確定一個有向圖是否爲半連通

半連通的定義，有向圖G(V,E)，任意兩個不同的點u、v，u有一條路徑可達v或者v有一條路徑可達u，從定義中可以看出，強連通圖一定是半連通的。

引理：有向無環圖G(V,E)，G是半連通的當且僅當有一條路徑，這條路徑上有圖G中所有點。

證明：充分性很顯然，如果有這樣一條路徑，則任意兩個點之間都有一條路徑。

必要性，有向無環圖，可以對其進行拓撲排序得到一個拓撲序列，拓撲序列中任意兩個相鄰的結點u,v，由半連通的定義可知，要麼v~u，要麼u~v，以下爲圖G的拓撲序列。

.....u,v................

(1) v~u，即有一條v到u的路徑，而根據拓撲排序的屬性，任意一條邊只能從左邊到右邊，故從v無論如何都不能到達u

(2)u~v，即有一條從u到v的路徑，如果沒有邊(u,v)，u只能指向v之後的結點，根據拓撲排序的屬性，任意一條邊只能從左邊到右邊，故u不到達到v與半連通矛盾，故一定存在邊(u,v)。

與是拓撲序列的任意兩個相鄰結點之間均有邊，則這個拓撲序列就是這樣的一條路徑，其中包含圖G的所有結點。

 

對於任意圖G，只需要將其轉化爲有向無環圖(DAG)，即通過強連通分支算法獲取圖G的連通分支圖G^SCC，分支圖G^SCC一定是有向無環圖，故可以使用引理來確定是否爲半連通。使用kosaraju 算法，因爲此算法第二次DFS正好得到G^SCC的拓撲序列，然後只要驗證相鄰的結點是否均有邊即可。