數據結構系列，二叉平衡樹的構建

平衡二叉樹

平衡二叉樹，首先要是一種二叉排序樹，

然後，其中每一個結點的左子樹，右子樹的高度差（左子樹的高度 – 右子樹的高度）至多等於1，二叉樹的高度就是這棵樹有幾層。

將二叉樹上結點的左子樹深度減去右子樹深度的值稱爲平衡因子BF，所有結點的平衡因子的值，只可能是-1, 0, 1。只要二叉樹上有一個結點的平衡因子絕對值大於1，則該二叉樹就是不平衡的。

距離插入結點最近的，且平衡因子的絕對值大於1的結點爲跟的子樹，稱爲最小不平衡子樹。

當新插入結點37時，距離37這個結點最近的平衡因子絕對值超過1的結點是58，所以58就是最小不平衡子樹。

爲了構建平衡二叉樹，需要在構建時，每次插入結點，先要檢查是否因爲插入結點破壞了樹的平衡性，如果破壞了，就找出最小不平衡樹，進行旋轉，使之成爲新的不平衡子樹。

平衡二叉樹，就是在二叉排序樹的創建過程中保證他的平衡性，一旦插入結點出現不平衡，就馬上旋轉使其平衡。

當最小不平衡子樹根結點的平衡因子BF大於1時，做右旋；當BF小於-1時做左旋；

當最小不平衡子樹的BF與它的子樹的BF符號相反時，就要先對它的子樹進行一次旋轉使得符號相同後，在反向旋轉最小不平衡樹，完成平衡操作。

依據上面的二叉排序樹的插入，旋轉策略，來實現構建一棵平衡二叉樹。

現在有10個結點，

Int a[10] = {3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8}

插入前兩個結點3，2時都是正常的構建，當插入第三個數1的時候，發現根結點3的BF變成了2，如圖1，此時整棵樹就是最小不平衡子樹，因爲BF爲正，將其右旋，如圖2。繼續插入結點4。
增加結點5時，結點3的BF變爲-2，如圖4，說明要左旋了，如圖5.
增加結點6時，結點2的BF變爲-2，如圖6，所以要左旋，如圖7，

增加結點7時，也要左旋，如圖8，圖9.

5，增加結點10，沒有變化，在增加結點9時，結點7的BF變爲-2，如圖11，如果直接左旋7,9,10，因爲結點9變成10的右孩子，不符合二叉排序樹的特性，所以不能簡單的左旋，前面我們說，如果最小不平衡子樹的BF跟他的子樹的BF符號不一致，要先選擇其子樹，使他們的BF符號統一，在反向旋轉最小不平衡子樹。

所以先要對9,10做右旋，在對7，9,10做左旋，如圖12，圖13，

6，在插入結點8，因爲6的BF變爲-2，它的右孩子9的BF變爲1，如圖14，所以要先對9右旋，如圖15，在對6左旋，如圖16.

代碼實現：

#ifndef DATA_STRUCTURE_BINARY_BF_TREE_CLASS_H
#define DATA_STRUCTURE_BINARY_BF_TREE_CLASS_H

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 //存儲空間初始分配量
#define MAX_TREE_SIZE 100 //二叉樹最大結點樹

typedef int Status; //表示函數結果的狀態碼
typedef int TreeElemType; //樹節點的數據類型，暫定int
typedef TreeElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; //順序存儲結構數組

typedef struct BiTNode {
    int data;//結點的值
    int bf;//平衡因子
    struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指針
}BiTNode, *BiTree;

TreeElemType Nil = 0; //表示空元素

Status Delete(BiTree *p);
void R_Rotate(BiTree *p);
void L_Rotate(BiTree *p);

#endif

#include "BinaryBFTree.h"

#include "iostream"
#include "cstdlib"
#include "cmath"
using namespace std;

#define arrayLength(array) sizeof(array) / sizeof(array[0])
const int array[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};

Status visit(BiTree T) {
	if (NULL != T) {
		cout << "value=" << T->data << endl;
	} else {
		cout << "T is null!" <<endl;
	}
	return OK;
}

void InOrderTraverseBST(BiTree T) {
	if (NULL == T) {
		//cout << "T is null!" <<endl;
		return;
	} else {
		InOrderTraverseBST(T->lchild);
		visit(T);
		InOrderTraverseBST(T->rchild);
	}
}

/*
*對以P爲跟結點的二叉排序樹做右旋，旋轉後p爲新的根結點。
*/
void R_Rotate(BiTree *p) {
	BiTree L;
	L = (*p)->lchild; //p的左孩子，爲新的根結點
	(*p)->lchild = L->rchild; //p的左孩子的右孩子，爲p的左孩子
	L->rchild = (*p);//新的根結點右孩子，爲原來的p
	*p = L;//指向新的根結點，原根結點的左孩子的左孩子指向沒有變。
}

/*
*對p爲根的二叉排序樹做左旋處理，旋轉後p爲新的根結點
*/
void L_Rotate(BiTree *p) {
	BiTree R;
	R= (*p)->rchild;
	(*p)->rchild = R->lchild;
	R->lchild = (*p);
	*p = R;
}

//最小不平衡子樹的子樹的高度值。
#define LH +1 //左高
#define EH 0 //等高
#define RH -1 //右高

/*
* 對T爲根結點的最小不平衡子樹做左平衡旋轉
*/
void LeftBalance(BiTree *T) {
	BiTree L, Lr;
	L = (*T)->lchild;
	switch(L->bf) {
		//新插入結點在T的左孩子的左子樹上，做右旋
		case LH:
			(*T)->bf = L->bf = EH;
			R_Rotate(T);
			break;
		//新插入結點在T的左孩子的右子樹上，做雙旋
		case RH:
			Lr = L->rchild;
			switch(Lr->bf) {
				case LH:
					(*T)->bf = RH;
					L->bf = EH;
					break;
				case EH:
					(*T)->bf = L->bf = EH;
					break;
				case RH:
					(*T)->bf = EH;
					L->bf = LH;
					break;					
			}
			Lr->bf = EH;
			//對T的左子樹做左旋
			L_Rotate(&((*T)->lchild));
			//對T做右旋
			R_Rotate(T);
	}
}

/*
 *對T爲根結點的最小不平衡子樹作右平衡旋轉處理，
 */
void RightBalance(BiTree *T) {
	BiTree R, Rl;
	R = ( * T)->rchild; /*	R指向T的右子樹根結點 */
	switch (R -> bf) { /*  檢查T的右子樹的平衡度，並作相應平衡處理 */
		case RH: /*  新結點插入在T的右孩子的右子樹上，要作單左旋處理 */
			( * T)->bf = R -> bf = EH;
			L_Rotate(T);
			break;
		case LH: /*  新結點插入在T的右孩子的左子樹上，要作雙旋處理 */
			Rl = R -> lchild; /*  Rl指向T的右孩子的左子樹根 */
			switch (Rl -> bf) { /*	修改T及其右孩子的平衡因子 */
				case RH:
					( * T)->bf = LH;
					R -> bf = EH;
					break;
				case EH:
					( * T)->bf = R -> bf = EH;
					break;
				case LH:
					( * T)->bf = EH;
					R -> bf = RH;
					break;
			}
			Rl -> bf = EH;
			R_Rotate( & ( * T)->rchild); /*  對T的右子樹作右旋平衡處理 */
			L_Rotate(T); /*  對T作左旋平衡處理 */
	}
}

/*	若在平衡的二叉排序樹T中不存在和e有相同關鍵字的結點，則插入一個
*  數據元素爲e的新結點，並返回1，否則返回0。若因插入而使二叉排序樹
*  失去平衡，則作平衡旋轉處理，布爾變量taller反映T長高與否
*/
Status InsertAVL(BiTree *T, int e, Status *taller) {
    if (! * T) { /*  插入新結點，樹“長高”，置taller爲TRUE */
        *T = new BiTNode;
        ( * T)->data = e;
        ( * T)->lchild = ( * T)->rchild = NULL;
        ( * T)->bf = EH;
        *taller = TRUE;
    } else {
        if (e == ( * T)->data) { /*	樹中已存在和e有相同關鍵字的結點則不再插入 */
        *taller = FALSE;
          return FALSE;
        }
        if (e < ( * T)->data) { /*	應繼續在T的左子樹中進行搜索 */
            if (!InsertAVL( & ( * T)->lchild, e, taller)) /*	未插入 */
            	return FALSE;
            if (*taller) { /*	已插入到T的左子樹中且左子樹“長高” */
	            switch (( * T)->bf) {/*  檢查T的平衡度 */
	              case LH: /*  原本左子樹比右子樹高，需要作左平衡處理 */
	            	  LeftBalance(T); *taller = FALSE;
	            	  break;
	              case EH: /*  原本左、右子樹等高，現因左子樹增高而使樹增高 */
	            	  ( * T)->bf = LH; *taller = TRUE;
	            	  break;
	              case RH: /*  原本右子樹比左子樹高，現左、右子樹等高 */
	            	  ( * T)->bf = EH; *taller = FALSE;
	            	  break;
	            }
            }
        }
        else { /*	應繼續在T的右子樹中進行搜索 */
            if (!InsertAVL( & ( * T)->rchild, e, taller)) /*	未插入 */
            	return FALSE;
            if (*taller) { /*  已插入到T的右子樹且右子樹“長高” */
	            switch (( * T)->bf) {/*  檢查T的平衡度 */
		            case LH: /*  原本左子樹比右子樹高，現左、右子樹等高 */
		              ( * T)->bf = EH; *taller = FALSE;
		              break;
		            case EH: /*  原本左、右子樹等高，現因右子樹增高而使樹增高  */
		              ( * T)->bf = RH; *taller = TRUE;
		              break;
		            case RH: /*  原本右子樹比左子樹高，需要作右平衡處理 */
		              RightBalance(T); *taller = FALSE;
		              break;
	            }
            }
        }
    }
  return TRUE;
}

int main() {
	BiTree T = NULL;
	Status taller;
	for(int i=0;i<arrayLength(array);i++) {
		InsertAVL(&T,array[i],&taller);
	}	
	InOrderTraverseBST(T);
}

/*output*/

/BinaryTree$ g++ -g BinaryBFTree.cpp -o BFTree
/BinaryTree$ ./BFTree 
value=1
value=2
value=3
value=4
value=5
value=6
value=7
value=8
value=9
value=10

對圖16按中序遍歷的輸出結果，是一致的。