數據結構系列　二叉樹的遍歷（順序存儲）

https://blog.csdn.net/lin20044140410/article/details/89436835 二叉樹鏈式存儲

數據結構-樹

樹是一種一對多的數據結構，是n(n>=0)個結點的有限集。N=0時爲空樹。在任意一棵非空樹中：1，有且只有一個特定的稱爲根root的結點，2，當n>1時，其餘結點可分爲m (m>0)個互不相交的有限集T1,T2,,,,Tm，其中每一個集合本身又是一棵樹，並且稱爲根的子樹。

一些概念：

結點擁有的子樹數稱爲階段的度，度爲0的結點稱爲葉結點Leaf，度不爲0的結點稱爲分支結點。樹的度是樹內個結點的度的最大值。
結點的層次，從根開始，根爲第一層，根的孩子爲第二層，樹中結點的最大層次稱爲樹的深度，或者高度。

二叉樹

二叉樹是一種特殊結構的樹，是n個結點的有限集合，或者爲空樹，或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱爲左子樹和右子樹的二叉樹組成。

二叉樹的特點：

每個結點最多兩棵子樹，
左子樹、右子樹是有順序的，次序不能顛倒，
即使樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹。

特殊的二叉樹

斜樹，所有的結點都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹，所有結點都只有右子樹的二叉樹叫右斜樹。斜樹，其實就是線性表結構。

滿二叉樹，在一棵二叉樹中，如果所有分支結點都存在左子樹和右子樹，並且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱爲滿二叉樹。

滿二叉樹特點：

葉子只能出現在最下一層，
非葉子結點的度一定是2
在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子最多。

完全二叉樹

對一棵具有n個結點的二叉樹按層序編號，如果編號爲i(1<=i<=n)的結點與同樣深度的滿二叉樹中編號爲i的結點在二叉樹中位置完全相同，則這棵二叉樹稱爲完全二叉樹。

滿二叉樹一定是一棵完全二叉樹，但是完全二叉樹不一定是滿的。

完全二叉樹的所有結點與同樣深度的滿二叉樹，它們按層序編號相同的結點，是一一對應的。

上圖是一棵完全二叉樹。

圖中樹1，樹2，樹3因爲編號不連續，都不是完全二叉樹，

完全二叉樹特點：

葉子結點只能出現在最下兩層。
最下層葉子結點一定集中在左部連續位置。
倒數第二層，如有葉子結點，一定都在右部連續位置。
如果結點度爲1，則該節點只有左孩子，不存在只有右子樹的情況。
同樣結點數的二叉樹，完全二叉樹深度最小。

判斷一棵二叉樹是不是完全二叉樹，就是給每個結點按照滿二叉樹的結構逐層編號，如果編號出現空擋，就不是完全二叉樹。

二叉樹的性質

在二叉樹的第i層，至多有2(i-1) (i>=1)
深度是k的二叉樹，最多有2k -1 個結點 k>=1.

以上兩點都可以通過數據歸納法來得出結論。

任意一棵二叉樹，如果終端結點數爲n0，度爲2的結點數爲n2，則n0 = n2 +1，
具有n個結點的完全二叉樹的深度爲log2n +1
如果對一棵有n個結點的完全二叉樹（深度爲log2n +1）的結點，按層序編號（從第1層到第log2n +1 層，每層從左到右），對於任一結點i(1<=I <=n)：

如果i = 1，結點i就是二叉樹的根，無雙親，如果i>1,則其雙親是結點 i/2 (向下取整)。

如果2i >n，則結點i無左孩子，結點i爲葉子結點；否則其左孩子是結點2i。

如果2i + 1 > n，則結點i無右孩子，否則其右孩子是結點2i + 1。

依據以上性質，來定義二叉樹的存儲結構，先說順序存儲。

二叉樹的順序存儲結構就是用一維數組存儲二叉樹中的結點，結點的存儲位置，就是數組的下標，相應位置不存在的結點設置爲null。這種存儲結構，適用於完全二叉樹，因爲對於極端的右斜樹，它有k個結點，卻要分配2k -1個存儲空間，這是對存儲空間的浪費。

二叉樹的鏈式存儲結構，每個結點最多兩個孩子，所以這種存儲結構，一個數據域，兩個指針域，兩個指針域存放指向左孩子和右孩子的指針，稱這樣的存儲結構爲二叉鏈表。

二叉樹的遍歷

對二叉樹的遍歷，就是把樹中的結點變成某種意義的線性序列。

遍歷算法就是遞歸。

前序遍歷，若二叉樹爲null，則空操作返回，否則先訪問根結點，然後前序遍歷左子樹，在前序遍歷右子樹。
中序遍歷，若樹爲null，則空操作返回，否則從根結點開始，中序遍歷左子樹，然後訪問根結點，最後中序遍歷右子樹。
後序遍歷，若樹爲null，則空操作返回，否則從左到右，先葉子後結點的方式，先遍歷訪問左子樹，再同樣從左到右，先葉子後結點的方式，遍歷右子樹，最後訪問根結點。
層序遍歷，若樹爲null，則空操作返回，否則從樹的第一層根結點開始訪問，從上到下逐層遍歷，在同一層中，按從左到右的順序對結點逐個訪問。

從遍歷操作可以得出，

已知前序遍歷序列和中序遍歷序列，可以唯一確定一棵二叉樹；

已知後序遍歷序列和中序遍歷序列，可以唯一確定一棵二叉樹；

這兩種情況都可以確定根結點，並且可以確定左子樹或者右子樹。

但是，已知前序和後序序列，是不能確定一棵二叉樹的，因爲雖然根結點可以確定，但是無法確定那個結點是左子樹，那個結點是右子樹。

二叉樹順序存儲代碼實現：

#ifndef DATA_STRUCTURE_BINARY_TREE_CLASS_H
#define DATA_STRUCTURE_BINARY_TREE_CLASS_H 

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 //存儲空間初始分配量
#define MAX_TREE_SIZE 100 //二叉樹最大結點樹

typedef int Status; //表示函數結果的狀態碼
typedef int TElemType; //樹節點的數據類型，暫定int
typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; //順序存儲結構數組

typedef struct {
    int level;//節點的層
    int order;//本層的序號，按滿二叉樹計算
}Position;

TElemType Nil = 0; //表示空元素

#endif

#include "binaryTree.h"

#include "iostream"
#include "cstdlib"
#include "cmath"
using namespace std;
Status visit(TElemType c) {
   cout << "node:" << c <<endl;
}

//構造空二叉樹
Status InitBiTree(SqBiTree T) {
	int i;
	for (i = 0; i< MAX_TREE_SIZE; i++) {
		T[i] = Nil;//空值
	}

	return OK;
}

Status CreateBiTree(SqBiTree T) {
	int i=0;
	cout<< "按層序輸入結點的值，整形數，0表示空結點，結點數 <=" <<
		MAX_TREE_SIZE <<endl;
	//對前10個結點賦值
	while (i < 10) {
		T[i] = i+1;
		cout << "結點：" << i <<",值:"<<    T[i] << endl;
		//對於非根結點，一定有雙親，如果沒有就出錯了
		if (i != 0 && T[(i+1)/2 -1] == Nil && T[i] != Nil) {
			cout << "無雙親的非根結點：" <<         T[i] << endl;
			exit(ERROR);
		}
		i++;
	}

	//其餘結點賦值空
	while(i < MAX_TREE_SIZE) {
		T[i] = Nil;
		i++;
	}	
	return OK;
}

//判空樹
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T) {
    //如果根結點爲空，即空樹
	if (T[0] == Nil) {
		return TRUE;
	} else {
		return FALSE;
	}
}

//獲取樹的深度
int BiTreeDepth(SqBiTree T) {
	int i,j=-1;
	for (i = MAX_TREE_SIZE-1; i>=0; i--) {
		if (T[i] != Nil) {//找到最後一個不爲空的結點
			break;
		}
	}
	//因爲在找到最後一個非空結點後，for又做了一次i--，所以要在加回去
	i++;
	//根據前面的性質，深度爲k二叉樹，最多有2k（2的k次冪） -1 個結點，
	//現在知道結點數，反推深度
	do{
	    j++;
	}while (i>=powl(2,j));

	return j;
}

//獲取根結點
Status Root(SqBiTree T, TElemType *e) {
	if (BiTreeEmpty(T)) {
		return ERROR;
	} else {
		*e = T[0];
		return OK;
	}
}

//獲取指定位置的結點,參數e包含結點所在的層，及本層的序號。
TElemType Value(SqBiTree T, Position e) {
	return T[(int)powl(2, e.level -1) + e.order -2];
}

//給指定位置的結點賦值
Status Assign(SqBiTree T, Position e, TElemType value) {
	//獲取數組的序號
	int i = (int)powl(2, e.level -1) + e.order -2;
	if (value != Nil && T[(i+1)/2-1] == Nil) {
		//非根結點，無雙親
		return ERROR;
	} else if (value == Nil && (T[i*2+1] !=Nil || T[i*2+2] !=Nil)) {
		//左孩子或者右孩子不爲空，就不能給其雙親賦值空
		return ERROR;
	}
	T[i] = value;
	return OK;
}

//返回結點的雙親
TElemType Parent(SqBiTree T, TElemType e) {
	int i;
	if (T[0] == Nil) {
		return Nil;
	}
	for (i = 1; i<MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
		if (T[i] == e) {
			return T[(i+1)/2-1];
		}
	}
	return Nil;
}

//返回左孩子
TElemType LeftChild(SqBiTree T, TElemType e) {
	int i;
	if (T[0] == Nil) {
		return Nil;
	}
	for (i =0; i<= MAX_TREE_SIZE -1; i++) {
		if (T[i] == e) {
			return T[i*2 +1];
		}
	}
	return Nil;
}

//返回右孩子
TElemType RightChild(SqBiTree T, TElemType e) {
	int i;
	if (T[0] == Nil) {
		return Nil;
	}
	for (i =0; i<= MAX_TREE_SIZE -1; i++) {
		if (T[i] == e) {
			return T[i*2 +2];
		}
	}
	return Nil;
}

//前序遍歷
void PreTraverse(SqBiTree T, int e) {
	visit(T[e]);
	if (T[2*e +1] != Nil) {
		PreTraverse(T, 2*e+1);
	}
	if (T[2*e +2] != Nil) {
		PreTraverse(T, 2*e+2);
	}
}

Status PreOrderTraverse(SqBiTree T) {
	cout << "前序遍歷。。。" << endl;
	if (!BiTreeEmpty(T)) {
		PreTraverse(T, 0);
	}
	return OK;
}

//中序遍歷
void InTraverse(SqBiTree T, int e) {
	if (T[2*e +1] != Nil) {
		InTraverse(T, 2*e+1);
	}
	visit(T[e]);
	if (T[2*e +2] != Nil) {
		InTraverse(T, 2*e+2);
	}
}

Status InOrderTraverse(SqBiTree T) {
	cout << "中序遍歷。。。" << endl;
	if (!BiTreeEmpty(T)) {
		InTraverse(T, 0);
	}
	return OK;
}

//後序遍歷
void PostTraverse(SqBiTree T, int e) {
	if (T[2*e +1] != Nil) {
		PostTraverse(T, 2*e+1);
	}
	if (T[2*e +2] != Nil) {
		PostTraverse(T, 2*e+2);
	}
	visit(T[e]);	
}

Status PostOrderTraverse(SqBiTree T) {
	cout << "後序遍歷。。。" << endl;
	if (!BiTreeEmpty(T)) {
		PostTraverse(T, 0);
	}
	return OK;
}

//層序遍歷
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T) {
	int i = MAX_TREE_SIZE -1;
	cout << "層序遍歷。。。" << endl;
	while (T[i] == Nil) {
		i--;//查找最後一個非空結點
	}
	cout << "最後一個非空結點(數組小標從0開始)：" << i << endl;
	for (int j=0; j<=i; j++) {
		if(T[j] != Nil) {
			visit(T[j]);
		}
	}
	cout << endl;
}

//按層輸出結點
void LevelOrderVisist(SqBiTree T) {
	int j,k;
	Position p;
	TElemType e;
	cout << "按層輸出結點。。。" << endl;
	for (j=1;j<=BiTreeDepth(T);j++) {
		cout <<"第 "<<j <<"層：" <<endl;
		for (k=1;k<=powl(2,j-1);k++) {
			p.level = j;
			p.order =k;
			e= Value(T,p);
			if (e != Nil) {
				cout << k << ":" << e << endl;
			}
		}
		cout <<endl;
	}
}

int main() {
	Status i;
	Position p;
	TElemType e;
	SqBiTree T;
	InitBiTree(T);
	CreateBiTree(T);
	cout << "新建的二叉樹，深度：" << BiTreeDepth(T) << endl;

	i = Root(T, &e);
	cout << "二叉樹的根：" << e << endl;
	LevelOrderVisist(T);
	LevelOrderTraverse(T);
	PreOrderTraverse(T);
	InOrderTraverse(T);
	PostOrderTraverse(T);
	
	p.level = 3;
	p.order = 2;
	e = Value(T, p);
	cout << "修改第3層第2個結點的值，原值："<< e << "新值爲50." << endl;
	e = 50;
	Assign(T, p, e);
	e = Value(T, p);
	cout << "修改後的第3層第2個結點的值："<< e  << endl;
	PreOrderTraverse(T);

	return 0;
}

/**output/

$ g++ -g BinaryTree.cpp -o BiTree
$ ./BiTree

按層序輸入結點的值，整形數，0表示空結點，結點數 <=100
結點：0,值:1
結點：1,值:2
結點：2,值:3
結點：3,值:4
結點：4,值:5
結點：5,值:6
結點：6,值:7
結點：7,值:8
結點：8,值:9
結點：9,值:10
新建的二叉樹，深度：4
二叉樹的根：1
按層輸出結點。。。
第 1層：
1:1

第 2層：
1:2
2:3

第 3層：
1:4
2:5
3:6
4:7

第 4層：
1:8
2:9
3:10

層序遍歷。。。
最後一個非空結點(數組小標從0開始)：9
node:1
node:2
node:3
node:4
node:5
node:6
node:7
node:8
node:9
node:10

前序遍歷。。。
node:1
node:2
node:4
node:8
node:9
node:5
node:10
node:3
node:6
node:7
中序遍歷。。。
node:8
node:4
node:9
node:2
node:10
node:5
node:1
node:6
node:3
node:7
後序遍歷。。。
node:8
node:9
node:4
node:10
node:5
node:2
node:6
node:7
node:3
node:1
修改第3層第2個結點的值，原值：5新值爲50.
修改後的第3層第2個結點的值：50
前序遍歷。。。
node:1
node:2
node:4
node:8
node:9
node:50
node:10
node:3
node:6
node:7

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