平衡二叉树
平衡二叉树，首先要是一种二叉排序树，
然后，其中每一个结点的左子树，右子树的高度差（左子树的高度 – 右子树的高度）至多等于1，二叉树的高度就是这棵树有几层。
将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF，所有结点的平衡因子的值，只可能是-1, 0, 1。只要二叉树上有一个结点的平衡因子绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。
距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为跟的子树，称为最小不平衡子树。
当新插入结点37时，距离37这个结点最近的平衡因子绝对值超过1的结点是58，所以58就是最小不平衡子树。
为了构建平衡二叉树，需要在构建时，每次插入结点，先要检查是否因为插入结点破坏了树的平衡性，如果破坏了，就找出最小不平衡树，进行旋转，使之成为新的不平衡子树。
平衡二叉树，就是在二叉排序树的创建过程中保证他的平衡性，一旦插入结点出现不平衡，就马上旋转使其平衡。
当最小不平衡子树根结点的平衡因子BF大于1时，做右旋；当BF小于-1时做左旋；
当最小不平衡子树的BF与它的子树的BF符号相反时，就要先对它的子树进行一次旋转使得符号相同后，在反向旋转最小不平衡树，完成平衡操作。
依据上面的二叉排序树的插入，旋转策略，来实现构建一棵平衡二叉树。
现在有10个结点，
Int a[10] = {3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8}
- 插入前两个结点3，2时都是正常的构建，当插入第三个数1的时候，发现根结点3的BF变成了2，如图1，此时整棵树就是最小不平衡子树，因为BF为正，将其右旋，如图2。继续插入结点4。
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- 增加结点5时，结点3的BF变为-2，如图4，说明要左旋了，如图5.
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- 增加结点6时，结点2的BF变为-2，如图6，所以要左旋，如图7，
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- 增加结点7时，也要左旋，如图8，图9.
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5，增加结点10，没有变化，在增加结点9时，结点7的BF变为-2，如图11，如果直接左旋7,9,10，因为结点9变成10的右孩子，不符合二叉排序树的特性，所以不能简单的左旋，前面我们说，如果最小不平衡子树的BF跟他的子树的BF符号不一致，要先选择其子树，使他们的BF符号统一，在反向旋转最小不平衡子树。
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所以先要对9,10做右旋，在对7，9,10做左旋，如图12，图13，
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6，在插入结点8，因为6的BF变为-2，它的右孩子9的BF变为1，如图14，所以要先对9右旋，如图15，在对6左旋，如图16.
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代码实现：
#ifndef DATA_STRUCTURE_BINARY_BF_TREE_CLASS_H #define DATA_STRUCTURE_BINARY_BF_TREE_CLASS_H #define OK 1 #define ERROR 0 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define MAXSIZE 100 //存储空间初始分配量 #define MAX_TREE_SIZE 100 //二叉树最大结点树 typedef int Status; //表示函数结果的状态码 typedef int TreeElemType; //树节点的数据类型，暂定int typedef TreeElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; //顺序存储结构数组 typedef struct BiTNode { int data;//结点的值 int bf;//平衡因子 struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针 }BiTNode, *BiTree; TreeElemType Nil = 0; //表示空元素 Status Delete(BiTree *p); void R_Rotate(BiTree *p); void L_Rotate(BiTree *p); #endif#include "BinaryBFTree.h" #include "iostream" #include "cstdlib" #include "cmath" using namespace std; #define arrayLength(array) sizeof(array) / sizeof(array[0]) const int array[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8}; Status visit(BiTree T) { if (NULL != T) { cout << "value=" << T->data << endl; } else { cout << "T is null!" <<endl; } return OK; } void InOrderTraverseBST(BiTree T) { if (NULL == T) { //cout << "T is null!" <<endl; return; } else { InOrderTraverseBST(T->lchild); visit(T); InOrderTraverseBST(T->rchild); } } /* *对以P为跟结点的二叉排序树做右旋，旋转后p为新的根结点。 */ void R_Rotate(BiTree *p) { BiTree L; L = (*p)->lchild; //p的左孩子，为新的根结点 (*p)->lchild = L->rchild; //p的左孩子的右孩子，为p的左孩子 L->rchild = (*p);//新的根结点右孩子，为原来的p *p = L;//指向新的根结点，原根结点的左孩子的左孩子指向没有变。 } /* *对p为根的二叉排序树做左旋处理，旋转后p为新的根结点 */ void L_Rotate(BiTree *p) { BiTree R; R= (*p)->rchild; (*p)->rchild = R->lchild; R->lchild = (*p); *p = R; } //最小不平衡子树的子树的高度值。 #define LH +1 //左高 #define EH 0 //等高 #define RH -1 //右高 /* * 对T为根结点的最小不平衡子树做左平衡旋转 */ void LeftBalance(BiTree *T) { BiTree L, Lr; L = (*T)->lchild; switch(L->bf) { //新插入结点在T的左孩子的左子树上，做右旋 case LH: (*T)->bf = L->bf = EH; R_Rotate(T); break; //新插入结点在T的左孩子的右子树上，做双旋 case RH: Lr = L->rchild; switch(Lr->bf) { case LH: (*T)->bf = RH; L->bf = EH; break; case EH: (*T)->bf = L->bf = EH; break; case RH: (*T)->bf = EH; L->bf = LH; break; } Lr->bf = EH; //对T的左子树做左旋 L_Rotate(&((*T)->lchild)); //对T做右旋 R_Rotate(T); } } /* *对T为根结点的最小不平衡子树作右平衡旋转处理， */ void RightBalance(BiTree *T) { BiTree R, Rl; R = ( * T)->rchild; /* R指向T的右子树根结点 */ switch (R -> bf) { /* 检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */ case RH: /* 新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */ ( * T)->bf = R -> bf = EH; L_Rotate(T); break; case LH: /* 新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */ Rl = R -> lchild; /* Rl指向T的右孩子的左子树根 */ switch (Rl -> bf) { /* 修改T及其右孩子的平衡因子 */ case RH: ( * T)->bf = LH; R -> bf = EH; break; case EH: ( * T)->bf = R -> bf = EH; break; case LH: ( * T)->bf = EH; R -> bf = RH; break; } Rl -> bf = EH; R_Rotate( & ( * T)->rchild); /* 对T的右子树作右旋平衡处理 */ L_Rotate(T); /* 对T作左旋平衡处理 */ } } /* 若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 * 数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 * 失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否 */ Status InsertAVL(BiTree *T, int e, Status *taller) { if (! * T) { /* 插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */ *T = new BiTNode; ( * T)->data = e; ( * T)->lchild = ( * T)->rchild = NULL; ( * T)->bf = EH; *taller = TRUE; } else { if (e == ( * T)->data) { /* 树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */ *taller = FALSE; return FALSE; } if (e < ( * T)->data) { /* 应继续在T的左子树中进行搜索 */ if (!InsertAVL( & ( * T)->lchild, e, taller)) /* 未插入 */ return FALSE; if (*taller) { /* 已插入到T的左子树中且左子树“长高” */ switch (( * T)->bf) {/* 检查T的平衡度 */ case LH: /* 原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */ LeftBalance(T); *taller = FALSE; break; case EH: /* 原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */ ( * T)->bf = LH; *taller = TRUE; break; case RH: /* 原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */ ( * T)->bf = EH; *taller = FALSE; break; } } } else { /* 应继续在T的右子树中进行搜索 */ if (!InsertAVL( & ( * T)->rchild, e, taller)) /* 未插入 */ return FALSE; if (*taller) { /* 已插入到T的右子树且右子树“长高” */ switch (( * T)->bf) {/* 检查T的平衡度 */ case LH: /* 原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */ ( * T)->bf = EH; *taller = FALSE; break; case EH: /* 原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高 */ ( * T)->bf = RH; *taller = TRUE; break; case RH: /* 原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */ RightBalance(T); *taller = FALSE; break; } } } } return TRUE; } int main() { BiTree T = NULL; Status taller; for(int i=0;i<arrayLength(array);i++) { InsertAVL(&T,array[i],&taller); } InOrderTraverseBST(T); }/*output*/
/BinaryTree$ g++ -g BinaryBFTree.cpp -o BFTree /BinaryTree$ ./BFTree value=1 value=2 value=3 value=4 value=5 value=6 value=7 value=8 value=9 value=10对图16按中序遍历的输出结果，是一致的。
