關於字典樹節點數組大小問題

問題描述

對於分支數爲$w$的字典樹(前綴樹)，插入$n$個字符串，每個字符串長度最大$m$，那麼字典樹節點數組需要開多大合適？（使用靜態開闢空間，排除vector等動態開闢空間的方法）

結論

令$k=\lfloor log_{w}n \rfloor$，那麼數組大小$totle=w(w^k-1)/(w-1)+(m-k)*n \le \frac {w*(n-1)}{w-1}+(m-k)*n$

這個可能有些複雜， 我們開數組大小一般也不會這樣再計算一下。

其實一般我們把數組大小開到$m*n$個即可，顯而易見這個大小是足夠的，假設在最壞的情況下，我們再壞一些，這些字符串的每個前綴都不同，那麼都佔用一個節點，這樣的不同的前綴的個數是$m*n$（但是都不會這麼大）。

證明

我們的數組大小必須能夠在最壞情況下足夠使用。最壞情況下我們假設每個字符串的長度都是最長的m，因爲兩個前綴相重複的越多，那麼就會省下的空間就越多，所以我們儘量讓這些字符串的前綴不同。

因爲有n個字符串，假設這n個字符串都不相同，那麼形成的字典樹葉子節點的個數就是n。

最壞情況下，我們形成的字典樹會有這樣一個特徵：存在一個深度k，使得深度$[1,k]$ 的都是滿叉（根節點的深度是0），且深度$[k+1,m]$中每層的節點數量都是$n$。（因爲長度爲$x$情況下，不同的前綴數量最多爲$min(n,w^x)$個）

不難理解$k$是滿足條件$w^k\le n$下的最大值，故$k=\lfloor log_{w}n \rfloor$，故總結點數量$totle=w+w^2..+w^k+(m-k)*n$

化簡可得

$totle=w(w^k-1)/(w-1)+(m-k)*n \le \frac {w*(n-1)}{w-1}+(m-k)*n$