【n個節點的二叉樹有多少種形態（Catalan數）】
分析過程：
（1）先考慮只有一個節點的情形，設此時的形態有f(1)種，那麼很明顯f(1)=1
（2）如果有兩個節點呢？我們很自然想到，應該在f(1)的基礎上考慮遞推關係。那麼，如果固定一個節點後，左右子樹的分佈情況爲1=1+0=0+1，故有f(2) = f(1) + f(1)
（3）如果有三個節點，（我們需要考慮固定兩個節點的情況麼？當然不，因爲當節點數量大於等於2時，無論你如何固定，其形態必然有多種）我們考慮固定一個節點，即根節點。好的，按照這個思路，還剩2個節點，那麼左右子樹的分佈情況爲2=2+0=1+1=0+2。
所以有3個節點時，遞歸形式爲f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2)。(注意這裏的乘法，因爲左右子樹一起組成整棵樹，根據排列組合裏面的乘法原理即可得出)
（4）那麼有n個節點呢？我們固定一個節點，那麼左右子樹的分佈情況爲n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = … = 1 + n-2 = 0 + n-1。此時遞歸表達式爲f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + … + f(1)f(n-2) + f(n-1)
接下來我們定義沒有節點的情況，此時也只有一種情況，即f(0)=1
那麼則有:
f(0)=1，f(1)=1
f(2)=f(1)f(0)+f(0)f(1)
f(3)=f(2)f(0)+f(1)f(1)+f(0)f(2)
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f(n)=f(n-1)f(0)+f(n-2)f(1)+……….+f(1)f(n-2)+f(0)f(n-1)
該數列稱爲卡特蘭數（Catalan數），該遞推關係的解爲：
即含n個節點的二叉樹有f(n)種形態。
【其他使用Catalan數解決的問題】
(1)矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？
(2)一個棧(無窮大)的進棧序列爲1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
(3)有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
(4)將一個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
(5)在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來，使得所得到的n條線段不相交的方法數。
(6)一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
本文由http://www.cnblogs.com/ShaneZhang/p/4102581.html以及http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/07/122573.html總結而成
