Bloom Filter(布隆過濾器)的概念和原理

Bloom filter

　　適用範圍：可以用來實現數據字典，進行數據的判重，或者集合求交集

　　基本原理及要點：
　　對於原理來說很簡單，位數組+k個獨立hash函數。將hash函數對應的值的位數組置1，查找時如果發現所有hash函數對應位都是1說明存在，很明顯這個過程並不保證查找的結果是100%正確的。同時也不支持刪除一個已經插入的關鍵字，因爲該關鍵字對應的位會牽動到其他的關鍵字。所以一個簡單的改進就是 counting Bloom filter，用一個counter數組代替位數組，就可以支持刪除了。

　　還有一個比較重要的問題，如何根據輸入元素個數n，確定位數組m的大小及hash函數個數。當hash函數個數k=(ln2)*(m/n)時錯誤率最小。在錯誤率不大於E的情況下，m至少要等於n*lg(1/E)才能表示任意n個元素的集合。但m還應該更大些，因爲還要保證bit數組裏至少一半爲0，則m應該>=nlg(1/E)*lge 大概就是nlg(1/E)1.44倍(lg表示以2爲底的對數)。

　　舉個例子我們假設錯誤率爲0.01，則此時m應大概是n的13倍。這樣k大概是8個。

　　注意這裏m與n的單位不同，m是bit爲單位，而n則是以元素個數爲單位(準確的說是不同元素的個數)。通常單個元素的長度都是有很多bit的。所以使用bloom filter內存上通常都是節省的。

　　擴展：
　　Bloom filter將集合中的元素映射到位數組中，用k（k爲哈希函數個數）個映射位是否全1表示元素在不在這個集合中。Counting bloom filter（CBF）將位數組中的每一位擴展爲一個counter，從而支持了元素的刪除操作。Spectral Bloom Filter（SBF）將其與集合元素的出現次數關聯。SBF採用counter中的最小值來近似表示元素的出現頻率。

　　問題實例：給你A,B兩個文件，各存放50億條URL，每條URL佔用64字節，內存限制是4G，讓你找出A,B文件共同的URL。如果是三個乃至n個文件呢？

　　根據這個問題我們來計算下內存的佔用，4G=2^32大概是40億*8大概是340億，n=50億，如果按出錯率0.01算需要的大概是650億個bit。現在可用的是340億，相差並不多，這樣可能會使出錯率上升些。另外如果這些urlip是一一對應的，就可以轉換成ip，則大大簡單了。

最後貼上一個java版本的布隆過濾器代碼：

import java.util.BitSet;

publicclass BloomFilter 
{
/* BitSet初始分配2^24個bit */ 
privatestaticfinalint DEFAULT_SIZE =1<<25; 
/* 不同哈希函數的種子，一般應取質數 */
privatestaticfinalint[] seeds =newint[] { 5, 7, 11, 13, 31, 37, 61 };
private BitSet bits =new BitSet(DEFAULT_SIZE);
/* 哈希函數對象 */ 
private SimpleHash[] func =new SimpleHash[seeds.length];

public BloomFilter() 
{
for (int i =0; i < seeds.length; i++)
{
func[i] =new SimpleHash(DEFAULT_SIZE, seeds[i]);
}
}

// 將字符串標記到bits中
publicvoid add(String value) 
{
for (SimpleHash f : func) 
{
bits.set(f.hash(value), true);
}
}

//判斷字符串是否已經被bits標記
publicboolean contains(String value) 
{
if (value ==null) 
{
returnfalse;
}
boolean ret =true;
for (SimpleHash f : func) 
{
ret = ret && bits.get(f.hash(value));
}
return ret;
}

/* 哈希函數類 */
publicstaticclass SimpleHash 
{
privateint cap;
privateint seed;

public SimpleHash(int cap, int seed) 
{
this.cap = cap;
this.seed = seed;
}

//hash函數，採用簡單的加權和hash
publicint hash(String value) 
{
int result =0;
int len = value.length();
for (int i =0; i < len; i++) 
{
result = seed * result + value.charAt(i);
}
return (cap -1) & result;
}
}
}

=======================================================================================

以下內容來自：

http://blog.csdn .NET/jiaomeng/article/details/1495500

================================================================================================================

Bloom Filter是一種空間效率很高的隨機數據結構，它利用位數組很簡潔地表示一個集合，並能判斷一個元素是否屬於這個集合。Bloom Filter的這種高效是有一定代價的：在判斷一個元素是否屬於某個集合時，有可能會把不屬於這個集合的元素誤認爲屬於這個集合（false positive）。因此，Bloom Filter不適合那些“零錯誤”的應用場合。而在能容忍低錯誤率的應用場合下，Bloom Filter通過極少的錯誤換取了存儲空間的極大節省。

集合表示和元素查詢

下面我們具體來看Bloom Filter是如何用位數組表示集合的。初始狀態時，Bloom Filter是一個包含m位的位數組，每一位都置爲0。

爲了表達S={x₁, x₂,…,x_n}這樣一個n個元素的集合，Bloom Filter使用k個相互獨立的哈希函數（Hash Function），它們分別將集合中的每個元素映射到{1,…,m}的範圍中。對任意一個元素x，第i個哈希函數映射的位置h_i(x)就會被置爲1（1≤i≤k）。注意，如果一個位置多次被置爲1，那麼只有第一次會起作用，後面幾次將沒有任何效果。在下圖中，k=3，且有兩個哈希函數選中同一個位置（從左邊數第五位）。

在判斷y是否屬於這個集合時，我們對y應用k次哈希函數，如果所有h_i(y)的位置都是1（1≤i≤k），那麼我們就認爲y是集合中的元素，否則就認爲y不是集合中的元素。下圖中y₁就不是集合中的元素。y₂或者屬於這個集合，或者剛好是一個false positive。

錯誤率估計

前面我們已經提到了，Bloom Filter在判斷一個元素是否屬於它表示的集合時會有一定的錯誤率（false positive rate），下面我們就來估計錯誤率的大小。在估計之前爲了簡化模型，我們假設kn<m且各個哈希函數是完全隨機的。當集合S={x₁, x₂,…,x_n}的所有元素都被k個哈希函數映射到m位的位數組中時，這個位數組中某一位還是0的概率是：

其中1/m表示任意一個哈希函數選中這一位的概率（前提是哈希函數是完全隨機的），(1-1/m)表示哈希一次沒有選中這一位的概率。要把S完全映射到位數組中，需要做kn次哈希。某一位還是0意味着kn次哈希都沒有選中它，因此這個概率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e^-kn/m是爲了簡化運算，這裏用到了計算e時常用的近似：

令ρ爲位數組中0的比例，則ρ的數學期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情況下，要求的錯誤率（false positive rate）爲：

(1-ρ)爲位數組中1的比例，(1-ρ)^k就表示k次哈希都剛好選中1的區域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已經提到了，現在來看第一步近似。p’只是ρ的數學期望，在實際中ρ的值有可能偏離它的數學期望值。M. Mitzenmacher已經證明^[2] ，位數組中0的比例非常集中地分佈在它的數學期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分別將p和p’代入上式中，得：

相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更爲方便。

最優的哈希函數個數

既然Bloom Filter要靠多個哈希函數將集合映射到位數組中，那麼應該選擇幾個哈希函數才能使元素查詢時的錯誤率降到最低呢？這裏有兩個互斥的理由：如果哈希函數的個數多，那麼在對一個不屬於集合的元素進行查詢時得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函數的個數少，那麼位數組中的0就多。爲了得到最優的哈希函數個數，我們需要根據上一小節中的錯誤率公式進行計算。

先用p和f進行計算。注意到f = exp(k ln(1 − e^−kn/m))，我們令g = k ln(1 − e^−kn/m)，只要讓g取到最小，f自然也取到最小。由於p = e^-kn/m，我們可以將g寫成

根據對稱性法則可以很容易看出當p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)時，g取得最小值。在這種情況下，最小錯誤率f等於(1/2)^k≈ (0.6185)^m/n。另外，注意到p是位數組中某一位仍是0的概率，所以p = 1/2對應着位數組中0和1各一半。換句話說，要想保持錯誤率低，最好讓位數組有一半還空着。

需要強調的一點是，p = 1/2時錯誤率最小這個結果並不依賴於近似值p和f。同樣對於f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)^kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)^kn)，p’ = (1 − 1/m)^kn，我們可以將g’寫成

同樣根據對稱性法則可以得到當p’ = 1/2時，g’取得最小值。

位數組的大小

下面我們來看看，在不超過一定錯誤率的情況下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n個元素的集合。假設全集中共有u個元素，允許的最大錯誤率爲є，下面我們來求位數組的位數m。

假設X爲全集中任取n個元素的集合，F(X)是表示X的位數組。那麼對於集合X中任意一個元素x，在s = F(X)中查詢x都能得到肯定的結果，即s能夠接受x。顯然，由於Bloom Filter引入了錯誤，s能夠接受的不僅僅是X中的元素，它還能夠є (u - n)個false positive。因此，對於一個確定的位數組來說，它能夠接受總共n + є (u - n)個元素。在n + є (u - n)個元素中，s真正表示的只有其中n個，所以一個確定的位數組可以表示

個集合。m位的位數組共有2^m個不同的組合，進而可以推出，m位的位數組可以表示

個集合。全集中n個元素的集合總共有

個，因此要讓m位的位數組能夠表示所有n個元素的集合，必須有

即：

上式中的近似前提是n和єu相比很小，這也是實際情況中常常發生的。根據上式，我們得出結論：在錯誤率不大於є的情況下，m至少要等於n log₂(1/є)才能表示任意n個元素的集合。

上一小節中我們曾算出當k = ln2· (m/n)時錯誤率f最小，這時f = (1/2)^k= (1/2)^{mln2 / n}。現在令f≤є，可以推出

這個結果比前面我們算得的下界n log₂(1/є)大了log₂e ≈ 1.44倍。這說明在哈希函數的個數取到最優時，要讓錯誤率不超過є，m至少需要取到最小值的1.44倍。

總結

在計算機科學中，我們常常會碰到時間換空間或者空間換時間的情況，即爲了達到某一個方面的最優而犧牲另一個方面。Bloom Filter在時間空間這兩個因素之外又引入了另一個因素：錯誤率。在使用Bloom Filter判斷一個元素是否屬於某個集合時，會有一定的錯誤率。也就是說，有可能把不屬於這個集合的元素誤認爲屬於這個集合（False Positive），但不會把屬於這個集合的元素誤認爲不屬於這個集合（False Negative）。在增加了錯誤率這個因素之後，Bloom Filter通過允許少量的錯誤來節省大量的存儲空間。

自從Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之後，Bloom Filter就被廣泛用於拼寫檢查和數據庫系統中。近一二十年，伴隨着網絡的普及和發展，Bloom Filter在網絡領域獲得了新生，各種Bloom Filter變種和新的應用不斷出現。可以預見，隨着網絡應用的不斷深入，新的變種和應用將會繼續出現，Bloom Filter必將獲得更大的發展。