[BZOJ4762]最小集合/[JZOJ5151]幻夢終醒

題目大意

給定n 個數ai ，你要從中選出一個非空子集，使得這個子集AND 和是0 ，並且這個子集的任意一個非空子集的AND 和都不是0 。

1≤n≤103,0≤ai<210

---

題目分析

又是一道好題。
在範老師@AwD的博客看懂的，大家可以過去膜拜一下。
思路是這樣的：令Sa 爲S 刪去a 之後形成的集合，令f(S) 表示S 集合中所有元素的AND 和。
那麼答案就是

∑S[(f(S)=0)∧∧a∈S(f(Sa)≠0)]

這個看起來不太好算，我們對後面的部分容斥一下，變成

∑S∑S′⊆S[(f(S)=0)∧∧a∈S′(f(Sa)=0)](−1)|S′|

其實就是

∑S∑S′⊆S[(f(S)=0)∧(∨a∈S′f(Sa)=0)](−1)|S′|

這個怎麼計算呢？令fi,k,j 表示做到了第i 個位置，f(S)=k ，∨a∈S′f(Sa)=j 的方案數（注意這個是乘上容斥係數的）。
顯然必須要滿足k⊆j ，也就是說狀態數只有O(n310) 。
轉移的話，假設第i+1 個數是d ，那麼有三種轉移：
∙  不選d ：fi+1,k,j←fi,k,j
∙ S 中選擇了d ，但是S′ 中沒有選擇：fi+1,k∧d,j∧d←fi,k,j
∙ S 以及S′ 中都選擇了d ：fi+1,k∧d,(j∧d)∨k←−fi,k,j
初始狀態f0,210−1,210−1=1 ，目標狀態fn,0,0 。
時間複雜度O(n310) 。

---

代碼實現

#include <iostream>
#include <cctype>
#include <cstdio>

using namespace std;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

const int P=1000000007;
const int N=1005;
const int S=1024;

int f[2][S][S];
int a[N];
int n;

void update(int &x,int y){x=(x+y)%P;}

int dp()
{
    f[0][S-1][S-1]=1;
    for (int i=0;i<n;++i)
    {
        int cur=i&1,nxt=cur^1,x=a[i+1];
        for (int j=0;j<S;++j)
        {
            for (int k=j;k;k=(k-1)&j) f[nxt][k][j]=0;
            f[nxt][0][j]=0;
        }
        for (int j=0;j<S;++j)
        {
            for (int k=j;k;k=(k-1)&j) update(f[nxt][k][j],f[cur][k][j]),update(f[nxt][k&x][j&x],f[cur][k][j]),update(f[nxt][k&x][k|j&x],P-f[cur][k][j]);
            update(f[nxt][0][j],f[cur][0][j]);
        }
    }
    return f[n&1][0][0];
}

int main()
{
    freopen("never.in","r",stdin),freopen("never.out","w",stdout);
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    printf("%d\n",dp());
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}