Bzoj3270:博物館:概率與期望，高斯消元

題目鏈接：博物館

我們用id[i][j]代表一個人到了i另一個人在j的狀態

假設id[i][j]代表的狀態可以一步走到id[x][y]代表的狀態，那麼id[x][y]一步也可以走到id[i][j]

所以狀態之間的轉移形成了一個環，這時候要用高斯消元來解決一下了

設a[id[x][y]][id[i][j]]爲從狀態id[i][j]轉移到id[x][y]的概率來列個方程組

假設現在在id[i][j]這個狀態上，接下來有這麼幾種情況

1：兩個人同時停留在原點，a[id[i][j]][id[i][j]]=p[i]*p[j];

2：第一個人走到了x(前提是i->x有邊存在)，a[id[x][j]][id[i][j]]+=(1-p[i])/du[i]*p[j];

3：第二個人走到了y，a[id[i][y]][id[i][j]]+=p[i]*(1-p[j])/du[j];

4：第一個人走到了x，第二個人走到了y，a[id[x][y]][id[i][j]]+=(1-p[i])/du[i]*(1-p[j])/du[j];

這樣我們列出了n*n個方程，形如a[id[x][y]][id[i][j]]=ax+by+cz+...

然後移項即可，只有一個特例即初始點，他的概率要+1，所以移項後常數項爲-1，其餘的都爲0

消元即可

#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define pb push_back
using namespace std;
const int maxn=21;
const int maxm=410;
int n,m,id[maxn][maxn],cnt=0,x,y,du[maxn];
double a[maxm][maxm],equ[maxm],p[maxn];
vector<int>nxt[maxn];

void guass(){
	for (int i=1;i<=cnt;++i){
		int tmp=i;
		for (int j=i+1;j<=cnt;++j)
		    if (abs(a[j][i])>abs(a[tmp][i])) tmp=j;
		if (tmp!=i)
		for (int j=1;j<=cnt+1;++j) swap(a[i][j],a[tmp][j]);
		for (int j=i+1;j<=cnt;++j){
			double N=a[j][i]/a[i][i];
			for (int k=i;k<=cnt+1;++k) a[j][k]-=a[i][k]*N;
		}
	}
	equ[cnt]=a[cnt][cnt+1]/a[cnt][cnt];
	for (int i=cnt-1;i>=1;--i){
		double N=a[i][cnt+1];
		for (int j=i+1;j<=cnt;++j) N-=a[i][j]*equ[j];
		equ[i]=N/a[i][i];
	}
	for (int i=1;i<=n;++i) printf("%.6lf ",equ[id[i][i]]);
}

int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);
	for (int i=1;i<=m;++i){
		int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
		nxt[u].pb(v); nxt[v].pb(u);
		du[u]++; du[v]++;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&p[i]);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=n;++j) {id[i][j]=++cnt;if(i!=j)a[cnt][cnt]=p[i]*p[j];}
	for (int i=1;i<=n;++i)
	    for (int j=1;j<=n;++j)
	        if (i!=j){
				for (int k=0;k<nxt[i].size();++k){
					int tx=nxt[i][k];
					a[id[tx][j]][id[i][j]]+=(1-p[i])/du[i]*p[j];
				}
				for (int k=0;k<nxt[j].size();++k){
					int ty=nxt[j][k];
					a[id[i][ty]][id[i][j]]+=p[i]*(1-p[j])/du[j];
				}
				for (int k=0;k<nxt[i].size();++k)
				    for (int q=0;q<nxt[j].size();++q){
						int tx=nxt[i][k],ty=nxt[j][q];
						a[id[tx][ty]][id[i][j]]+=(1-p[i])*(1-p[j])/du[i]/du[j];
				    }
	        }
	for (int i=1;i<=n;++i)
	    for (int j=1;j<=n;++j) a[id[i][j]][id[i][j]]-=1.0;
	a[id[x][y]][cnt+1]=-1;
	guass();
}