C++ 的高精度乘法

爲什麼需要高精度計算

對於 C++ 而言，最大的數據爲 long long（64b，8位），對於超過 8B 的數據，C++ 沒有對應的數據類型進行表示。所以我們需要知道高精度計算。更詳細的解釋，可以參考這個網頁https://blog.csdn.net/justidle/article/details/104414459。

高精度乘法計算原理

在讀小學時，我們做乘法都採用豎式方法，如圖 1 所示。 這樣，我們可以寫出兩個整數相減的算法。

我們就可以用 C++ 語言來模擬這個豎式減法的過程。我們可以考慮利用 C++ 的數組來存儲對應數據，假設用數組 A 存儲被減數 856 的每一位，具體來說就是 A1 存儲個位 6，A2 存儲十位 5，A3存儲百位 8；類似數組 A 的結構，使用數組 B 存儲減數 25；類似數組 A 的結構，使用數組 C 來存儲對應的乘積 21400。兩數相加的結果就如圖 2 所示。這樣理論上來說，我們就可以計算無限大的數據。如上圖 2 所示，下表表示對應的存儲方式。

	數組 A	數組 B	數組 C
[0]	6	5	0
[1]	5	2	0
[2]	8		4
[3]			1
[4]			2

如上面的圖 2 ，首先計算被乘數與乘數的個位數字的乘積，把結果保存到積數組中，然後再用被除數乘以乘數的十位數字，把結果退一位加到積數組中。每加一次乘積結果就進行一次進位處理，放在一個新組數裏面。其方法與加法中的進位處理一樣。

關鍵點

1、a[i]*b[j] 應該累加到 i+j 的位置；

2、累加總結果爲： c[i+j] = a[i]*b[j]+jw+c[i+j]；

3、所以每次累加完後：

       1）帶入下一位累加的進位： jw = c[i+j] / 10；

       2）本位實際數： c[i+j] %= 10。

高精度乘法實現

思路

1、定義存儲數組。

2、讀入數據處理。

3、從個位開始模擬豎式乘法的過程，完成整個乘法。

4、刪除前導 0 。所謂前導零，就是出現類似這樣數據 01234，這個 0 實際是不需要的。

5、輸出結果。倒序輸出減法的結果數組 C，因爲我們的個位是存儲在下標爲 0 的地方。

技術細節說明

定義存儲數組

根據題目的要求定義數組。這個部分代碼如下：

const int MAXN = 1e5+4; //根據題目的最大值。+4爲了防止A+B出現進位
char s1[MAXN] = {};//存儲字符串
char s2[MAXN] = {};//存儲字符串
int a[MAXN] = {};//存儲加數A
int b[MAXN] = {};//存儲加數B
int c[2*MAXN] = {};//存儲乘積

讀入數據並處理

這裏我們先考慮以下幾種情況，即 -3*5=-15 或者 -4*8=-32 或者 -3*(-2)=6，也就是說，需要對輸入數據的正負號進行判斷。這個部分代碼如下：

    scanf("%s %s", s1, s2);//讀入字符串

    //處理負數
    bool flaga = false;//乘數a的符號
    if ('-'==s1[0]) {
        flaga = true;
        strcpy(s1, &s1[1]);//刪除負號
    }
    bool flagb = false;//乘數b的符號
    if ('-'==s2[0]) {
        flagb = true;
        strcpy(s2, &s2[1]);//刪除負號
    }

    //處理輸出的負號
    if ((true==flaga && false==flagb) || (false==flaga && true==flagb)) {
        printf("-");
    }

    //處理乘數1
    int lena = strlen(s1);
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        a[lena-i-1]=s1[i]-'0';
    }

    //處理乘數2
    int lenb = strlen(s2);
    for (int i=0; i<lenb; i++) {
        b[lenb-i-1]=s2[i]-'0';
    }

模擬豎式乘法

這個部分代碼如下：

    //模擬豎式乘法
    int jw;//上一輪計算進位
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        jw=0;
        for (int j=0; j<lenb; j++) {
            //交叉乘積
            c[i+j] = a[i]*b[j]+jw+c[i+j];//當前乘積+上次乘積進位+原數
            jw = c[i+j]/10;//處理進位
            c[i+j] %= 10;
        }
        c[i+lenb]=jw;//進位設置
    }

刪除前導零

這個部分代碼如下：

    //刪除前導零
    int lenc=lena+lenb;
    for (int i=lenc-1; i>=0; i--) {
        //因爲我們是從索引 0 開始，所以最高位是保存在 len-1
        if (0==c[i] && lenc>1) {
            //注意要有 lenc>1 這個條件。考慮特殊情況，加法結果爲 00，我們實際要輸出 0。
            lenc--;
        } else {
            //第一個不是零的最高位，結束刪除
            break;
        }
    }

輸出計算結果

採用倒序的方式輸出，因爲我們數據保存是倒序結構，也就是低位在前。

    //逆序打印輸出
    for (int i=lenc-1; i>=0; i--) {
        printf("%d", c[i]);
    }
    printf("\n");

例題和 AC 代碼

題目

題目鏈接

一本通 OJ：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1174，或者http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1307。

我自己 OJ：http://47.110.135.197/problem.php?id=1034。

題目描述

求兩個不超過 200 位的非負整數的積。

輸入

有兩行，每行是一個不超過 200 位的非負整數，沒有多餘的前導 0。

輸出

一行，即相乘後的結果。結果裏不能有多餘的前導 0，即如果結果是 342，那麼就不能輸出爲 0342。

樣例輸入

12345678900
98765432100

樣例輸出

1219326311126352690000

分析

題目告訴我們不超過 200 位，也就是 MAXN = 200+4。特別的地方要注意乘積的長度爲 2*MAXN。

AC 代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 200+4; //根據題目的最大值。+4爲了防止A+B出現進位
char s1[MAXN] = {};//存儲字符串
char s2[MAXN] = {};//存儲字符串
int a[MAXN] = {};//存儲加數A
int b[MAXN] = {};//存儲加數B
int c[2*MAXN] = {};//存儲和B

int main() {
    scanf("%s %s", s1, s2);//讀入字符串

    //處理負數
    bool flaga = false;//乘數a的符號
    if ('-'==s1[0]) {
        flaga = true;
        strcpy(s1, &s1[1]);//刪除負號
    }
    bool flagb = false;//乘數b的符號
    if ('-'==s2[0]) {
        flagb = true;
        strcpy(s2, &s2[1]);//刪除負號
    }

    //處理輸出的負號
    if ((true==flaga && false==flagb) || (false==flaga && true==flagb)) {
        printf("-");
    }

    //處理乘數1
    int lena = strlen(s1);
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        a[lena-i-1]=s1[i]-'0';
    }

    //處理乘數2
    int lenb = strlen(s2);
    for (int i=0; i<lenb; i++) {
        b[lenb-i-1]=s2[i]-'0';
    }
    
    //模擬豎式乘法
    int jw;//上一輪計算進位
    for (int i=0; i<lena; i++) {
        jw=0;
        for (int j=0; j<lenb; j++) {
            //交叉乘積
            c[i+j] = a[i]*b[j]+jw+c[i+j];//當前乘積+上次乘積進位+原數
            jw = c[i+j]/10;//處理進位
            c[i+j] %= 10;
        }
        c[i+lenb]=jw;//進位設置
    }

    //刪除前導零
    int lenc=lena+lenb;
    for (int i=lenc-1; i>=0; i--) {
        //因爲我們是從索引 0 開始，所以最高位是保存在 len-1
        if (0==c[i] && lenc>1) {
            //注意要有 lenc>1 這個條件。考慮特殊情況，加法結果爲 00，我們實際要輸出 0。
            lenc--;
        } else {
            //第一個不是零的最高位，結束刪除
            break;
        }
    }    
    
    //逆序打印輸出
    for (int i=lenc-1; i>=0; i--) {
        printf("%d", c[i]);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}