最長公共子序列（LCS）

來源:https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1006

一些概念：

（1）子序列： 一個序列A ＝ a1,a2,……an,中任意刪除若干項，剩餘的序列叫做A的一個子序列。也可以認爲是從序列A按原順序保留任意若干項得到的序列。

例如：

對序列 1,3,5,4,2,6,8,7來說，序列3,4,8,7 是它的一個子序列。
對於一個長度爲n的序列，它一共有2^n 個子序列，有(2^n – 1)個非空子序列。

請注意：子序列不是子集，它和原始序列的元素順序是相關的。

（2）公共子序列 ： 顧名思義，如果序列C既是序列A的子序列，同時也是序列B的子序列，則稱它爲序列A和序列B的公共子序列。

例如：

對序列 1,3,5,4,2,6,8,7和序列 1,4,8,6,7,5 來說

序列1,8,7是它們的一個公共子序列。

請注意： 空序列是任何兩個序列的公共子序列。

例如： 序列1,2,3和序列4,5,6的公共子序列只有空序列。

（3）最長公共子序列

A和B的公共子序列中長度最長的（包含元素最多的）叫做A和B的公共子序列。
仍然用序列1,3,5,4,2,6,8,7和序列1,4,8,6,7,5

它們的最長公共子序列是：

1,4,8,7
1,4,6,7

最長公共子序列的長度是4 。
請注意: 最長公共子序列不唯一。

請大家用集合的觀點來理解這些概念，子序列、公共子序列以及最長公共子序列都不唯一，所以我們通常說一個最長公共子序列，但顯然最長公共子序列的長度是一定的。

最長公共子序列問題就是求序列A= a1,a2,……an, 和B = b1,b2,……bm,的一個最長公共子序列。

因爲最長公共子序列不唯一，讓我們把問題簡化，如何求出兩個序列的最長公共子序列長度呢？

你首先能想到的恐怕是暴力枚舉？那我們先來看看：序列A有 2^n 個子序列，序列B有 2^m 個子序列，如果任意兩個子序列一一比較，比較的子序列高達 2^(n+m) 對，這還沒有算具體比較的複雜度。

或許你說，只有長度相同的子序列纔會真正進行比較。那麼忽略空序列，我們來看看：對於A長度爲1的子序列有C(n,1)個，長度爲2的子序列有C(n,2)個，……長度爲n的子序列有C(n,n)個。對於B也可以做類似分析，即使只對序列A和序列B長度相同的子序列做比較，那麼總的比較次數高達：

C(n,1)*C(m,1)*1 + C(n,2) * C(m,2) * 2+ …+C(n,p) * C(m,p)*p

其中p = min(m, n)。

嚇着了吧？怎麼辦？試試使用動態規劃算法！

我們用Ax表示序列A的連續前x項構成的子序列，即Ax= a1,a2,……ax, By= b1,b2,……by, 我們用LCS(x, y)表示它們的最長公共子序列長度，那原問題等價於求LCS(m,n)。爲了方便我們用L(x, y)表示Ax和By的一個最長公共子序列。

讓我們來看看如何求LCS(x, y)。我們令x表示子序列考慮最後一項

（1） Ax ＝ By

那麼它們L(Ax, By)的最後一項一定是這個元素！

爲什麼呢？爲了方便，我們令t = Ax = By, 我們用反證法：假設L(x,y)最後一項不是t，

則要麼L(x,y)爲空序列（別忘了這個），要麼L(x,y)的最後一項是Aa＝Bb ≠ t, 且顯然有a < x, b < y。無論是哪種情況我們都可以把t接到這個L(x,y)後面,從而得到一個更長的公共子序列。矛盾！

如果我們從序列Ax中刪掉最後一項ax得到Ax-1,從序列By中也刪掉最後一項by得到By-1，(多說一句角標爲0時，認爲子序列是空序列)，則我們從L(x,y)也刪掉最後一項t得到的序列是L(x – 1, y - 1)。爲什麼呢？和上面的道理相同，如果得到的序列不是L(x - 1, y - 1)，則它一定比L(x - 1, y - 1)短（注意L（，）是個集合！），那麼它後面接上元素t得到的子序列L(x,y)也比L(x - 1, y - 1)接上元素t得到的子序列短，這與L(x, y)是最長公共子序列矛盾。

因此L(x, y) = L(x - 1, y - 1) 最後接上元素t

LCS(Ax, By) = LCS(x - 1, y - 1) + 1

（2）  Ax ≠ By

仍然設t = L(Ax, By), 或者L(Ax, By)是空序列（這時t是未定義值不等於任何值）。

則t  ≠ Ax和t  ≠ By至少有一個成立，因爲t不能同時等於兩個不同的值嘛！

（2.1） 如果t  ≠ Ax，則有L(x, y)= L(x - 1, y)，因爲根本沒Ax的事嘛。

 LCS(x,y) = LCS(x – 1, y)

（2.2） 如果t  ≠ By,l類似L(x, y)= L(x , y - 1)

LCS(x,y) = LCS(x, y – 1)

可是，我們事先並不知道t，由定義，我們取最大的一個，因此這種情況下,有LCS(x,y) = max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))。
看看目前我們已經得到了什麼結論：

LCS(x,y) = 
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By

這時一個顯然的遞推式，光有遞推可不行，初值是什麼呢？

顯然，一個空序列和任何序列的最長公共子序列都是空序列！所以我們有:

LCS(x,y) = 
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
(3) 0 如果x = 0或者y = 0

到此我們求出了計算最長公共子序列長度的遞推公式。我們實際上計算了一個(n + 1)行(m + 1)列的表格（行是0..n，列是0..m)，也就這個二維度數組LCS(,)。

大概的僞代碼如下：
輸入序列A, B長度分別爲n，m,計算二維表 LCS(int,int):

for x = 0 to n do
    for y = 0 to m do
        if (x == 0 || y == 0) then 
            LCS(x, y) = 0
        else if (Ax == By) then
            LCS(x, y) =  LCS(x - 1,y - 1) + 1
        else 
            LCS(x, y) = ) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))
        endif
    endfor
endfor

注意： 我們這裏使用了循環計算表格裏的元素值，而不是遞歸，如果使用遞歸需要已經記錄計算過的元素，防止子問題被重複計算。

現在問題來了，我們如何得到一個最長公共子序列而僅僅不是簡單的長度呢？其實我們離真正的答案只有一步之遙！

仍然考慮那個遞推式，我們LCS(x,y)的值來源的三種情況：

（1） LCS(x – 1,  y – 1) + 1如果Ax ＝ By
這對應L(x,y) = L(x,- 1 y- 1)末尾接上Ax

（2.1） LCS(x – 1, y)  如果Ax ≠ By且LCS(x – 1, y) ≥LCS(x, y – 1)
這對應L(x,y)= L(x – 1, y)
（2.2） LCS(x, y – 1)  如果Ax ≠ By且LCS(x – 1, y) <LCS(x, y – 1)
這對應L(x,y) = L(x, y – 1)

（3） 0 如果 x =0或者y = 0
這對應L(x,y)=空序列

注意(2.1)和(2.2) ，當LCS(x – 1, y) ＝ LCS(x, y – 1)時，其實走哪個分支都一樣，雖然長度時一樣的，但是可能對應不同的子序列，所以最長公共子序列並不唯一。
神奇吧？又一個類似的遞推公式。可見我們在計算長度LCS(x,y)的時候只要多記錄一些信息，就可以利用這些信息恢復出一個最長公共子序列來。就好比我們在迷宮裏走路，走到每個位置的時候記錄下我們時從哪個方向來的，就可以從終點回到起點一樣。

另外，說一下複雜度？

時間複雜度時O(n * m)，空間也是O(n * m)
今天對LCS的講解就到這裏，聰明的你是不是已經蠢蠢欲動要AC問題啦？ 心動不如行動，趕快吧。

輸入

第1行：字符串A
第2行：字符串B
(A,B的長度 <= 1000)

輸出

輸出最長的子序列，如果有多個，隨意輸出1個。

輸入示例

abcicba
abdkscab

輸出示例

abca

我的代碼：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <iomanip>
using namespace std;
int LCS[1020][1020],mark[1020][1020];
string s1,s2,s,ans;
void output(int x,int y)
{
    if(x<=0||y<=0)return;
    else if(mark[x][y]==1)
    {
        output(x-1,y-1);
        cout<<s1[x-1];
    }
    else if(mark[x][y]==-1)
        output(x-1,y);
    else output(x,y-1);
}
int main()
{
    cin>>s1>>s2;
    for(int i=0;i<=s1.length();i++)
    {
        for(int j=0;j<=s2.length();j++)
        {
            if(i==0)
            {
                LCS[i][j]=0;
                mark[i][j]=-1;
            }
            else if(j==0)
            {
                LCS[i][j]=0;
                mark[i][j]=0;
            }
            else if(s1[i-1]==s2[j-1])
            {
                LCS[i][j]=LCS[i-1][j-1]+1;
                mark[i][j]=1;
            }
            else
            {
                if(LCS[i-1][j]>LCS[i][j-1])
                {
                    LCS[i][j]=LCS[i-1][j];
                    mark[i][j]=-1;
                }
                else
                {
                    LCS[i][j]=LCS[i][j-1];
                    mark[i][j]=0;
                }
            }
        }
    }
    output(s1.length(),s2.length());
    cout<<endl;
    return 0;
}