算法快學筆記（十六）：動態規劃

1. 介紹

前文提到，對於揹包問題與旅行商問題，計算的複雜度是隨着計算數據的增加呈現指數級增長的，貪婪算法算可以處理，但得到的並不是最優解。

動態規劃的主要思路是先解決子問題，在逐步解決大問題。本文將通過兩個例子介紹動態規劃的推算思路。

2. 揹包問題

2.1 思路

通過動態規劃方法解決揹包問題的流程如下：

1. 準備一個表格，商品作爲Y軸，揹包重量作爲x軸

2. 使用下面的公式算出價格且更新到表格裏
   

3. 使用方法2，逐行填充表格，直到將表格填滿。

2.2 推算過程

用於推算的數據如下：

1. 小偷的揹包可以放4KG的物品
2. 可偷物品的價格，重量如下：

物品	重量	價值
吉他	1kg	1500
音響	4kg	3000
筆記本	3kg	2000
手機	1kg	2000

詳細推算過程如下:

1. 初始化表格如下

*	1	2	3	4
吉他
音響
筆記本
手機

2. 吉他是第一個商品，且重量只有1kg,則對於不同大小的揹包而言都可以放得下，所以第一行的值都爲1500

*	1	2	3	4
吉他	1500	1500	1500	1500
音響
筆記本
手機

3. 音響是第二個商品，對於1,2,3三個揹包都放不下，所以能放的物品價值還是1500,第四個揹包可以放下，使前面提到的公式推導一下。

• CELL[1][4]=1500
• 當前價值+剩餘空間價值=3000+0(沒有剩餘的空間，所以剩餘價值爲0)
  通過上面的推算，可知音響這行最後一格的值爲3000

*	1	2	3	4
吉他	1500	1500	1500	1500
音響	1500	1500	1500	3000
筆記本
手機

4. 看下筆記本，前兩個揹包都放不下，從第三個開始。第三個揹包放完筆記本後價值爲2000,且比CELL[2,3]要大，所以該值更新爲2000

*	1	2	3	4
吉他	1500	1500	1500	1500
音響	1500	1500	1500	3000
筆記本	1500	1500	2000
手機

再來看筆記本的最後一格,比較下面的值：

• CELL[2][4]=3000
• 2000(筆記本價格)+1500(剩餘空間的最大價值)=3500

由上可得出筆記本第四格的價值應該是3500

*	1	2	3	4
吉他	1500	1500	1500	1500
音響	1500	1500	1500	3000
筆記本	1500	1500	2000	3500
手機

5. 手機的重量爲1kg.且比吉他的價格要貴，所以第一格替換成手機的價格

*	1	2	3	4
吉他	1500	1500	1500	1500
音響	1500	1500	1500	3000
筆記本	1500	1500	2000	3500
手機	2000

對於第二格，比較下面的值：

• CELL[3][2]=1500
• 2000(筆記本價格)+1500(剩餘空間的最大價值，C[3,1])=3500

由上可得出手機第二格的價值應該是3500

*	1	2	3	4
吉他	1500	1500	1500	1500
音響	1500	1500	1500	3000
筆記本	1500	1500	2000	3500
手機	2000	3500

第三格的推算過程與第二格類似，值同樣爲3500.

*	1	2	3	4
吉他	1500	1500	1500	1500
音響	1500	1500	1500	3000
筆記本	1500	1500	2000	3500
手機	2000	3500	3500

對於第四格，比較下面的值：

• CELL[3][4]=3500
• 2000(筆記本價格)+2000(剩餘空間的最大價值，C[3,3])=4000

由上可得出手機第四格的價值應該是4000

*	1	2	3	4
吉他	1500	1500	1500	1500
音響	1500	1500	1500	3000
筆記本	1500	1500	2000	3500
手機	2000	3500	3500	4000

最終可得知，小偷最多可偷4000元的商品，且偷的商品是手機+筆記本電腦。

2.4 其他注意事項

1. 最終的結果和表格中商品的順序沒有關係
2. 如果可偷的商品爲0.5kg. 則x軸的粒度要爲0.5。既0.5->1->1.5->2…
3. 選擇商品的時候，每個商品都是獨立選擇的，不存在依賴關係。例如不應該出現選擇商品A，則必須（不能）選擇B的情況
4. 最優解可能會導致最終的揹包沒有被裝滿

3. 最長公共子串

最場公共子串求出的是兩個字符串都包含的最長子串，例如:對於hish與fish兩個單詞，ish就是他們的最長公共子串。

3.1 思路

可以用解決揹包問題的思路來解決該問題，兩個單詞分別對應縱/橫軸，將公共子串的長度填到方格里，最後所有格子裏最大的值就是最大的公共子串的長度，連續從0到最大長度值對應的縱/橫軸對應的字母就是最長公共子串。

格子裏值的推算公式如下：

if word_a[i] == word_b[j]:
    cell[i][j] = cell[i-1][j-1] + 1
else:
    cell[i][j] = 0

按照上面的公式推算，FISH與HISH的結果如下：

既最大長度爲3,對應的子串爲ISH.

3.2 最長公共子序列

最長公共子序列：兩個單詞中都有的序列包含的字母數，最後求得的子序列長度越長，說明兩個單詞越相似

算法的步驟如下：

計算FOSH與FISH與FORT兩個單詞的最長公共子序列的過程與結果如下：

通過上述結果可看出，FISH與FOSH更像一些。

4. 總結

動態規劃的實際應用包括如下場景：

• 生物學家根據最長公共序列來確定DNA鏈的相似性，進而判斷度兩種動物或疾病有多相似。

• 前面討論了字符串的相似程度。 編輯距離（ levenshtein distance）指出了兩個字符串的相
  似程度，也是使用動態規劃計算得到的。編輯距離算法的用途很多，從拼寫檢查到判斷用戶上傳的資料是否是盜版，都在其中。

• Microsoft Word等具有斷字功能的應用程序，使用動態規劃確定在什麼地方斷
  字以確保行長一致。