齊次座標

轉自http://blog.csdn.net/wqvbjhc/article/details/6003112

一直對齊次座標這個概念的理解不夠徹底，只見大部分的書中說道“齊次座標在仿射變換中非常的方便”，然後就沒有了後文，今天在一個叫做“三百年重生”的博客上看到一篇關於透視投影變換的探討的文章，其中有對齊次座標有非常精闢的說明，特別是針對這樣一句話進行了有力的證明：“齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行仿射（線性）幾何變換。”—— F.S. Hill, JR。

由於作者對齊次座標真的解釋的不錯，我就原封不動的摘抄過來：

對於一個向量 v 以及基 oabc ，可以找到一組座標 (v1,v2,v3) ，使得 v = v1 a + v2 b + v3 c （ 1 ）

而對於一個點 p ，則可以找到一組座標（ p1,p2,p3 ），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c （ 2 ），

從上面對向量和點的表達，我們可以看出爲了在座標系中表示一個點（如 p ），我們把點的位置看作是對這個基的原點 o 所進行的一個位移，即一個向量—— p – o （有的書中把這樣的向量叫做位置向量 ——起始於座標原點的特殊向量），我們在表達這個向量的同時用等價的方式表達出了點

p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)

(1)(3) 是座標系下表達一個向量和點的不同表達方式。這裏可以看出，雖然都是用代數分量的形式表達向量和點，但表達一個點比一個向量需要額外的信息。如果我寫出一個代數分量表達 (1, 4, 7) ，誰知道它是個向量還是個點！

我們現在把（ 1 ）（ 3 ）寫成矩陣的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)

p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o), 這裏 (a,b,c,o) 是座標基矩陣，右邊的列向量分別是向量 v 和點 p 在基下的座標。這樣，向量和點在同一個基下就有了不同的表達：3D 向量的第 4 個代數分量是 0 ，而 3D 點的第 4 個代數分量是 1 。像這種這種用 4 個代數分量表示 3D 幾何概念的方式是一種齊次座標表示。

這樣，上面的 (1, 4, 7) 如果寫成（ 1,4,7,0 ），它就是個向量；如果是 (1,4,7,1) ，它就是個點。下面是如何在普通座標 (Ordinary Coordinate) 和齊次座標 (Homogeneous Coordinate) 之間進行轉換：

(1) 從普通座標轉換成齊次座標時

如果 (x,y,z) 是個點，則變爲 (x,y,z,1);

如果 (x,y,z) 是個向量，則變爲 (x,y,z,0)

(2)從齊次座標轉換成普通座標時

如果是 (x,y,z,1) ，則知道它是個點，變成 (x,y,z);

如果是 (x,y,z,0) ，則知道它是個向量，仍然變成 (x,y,z)

以上是通過齊次座標來區分向量和點的方式。從中可以思考得知，對於平移 T 、旋轉 R 、縮放 S 這 3 個最常見的仿射變換，平移變換隻對於點纔有意義，因爲普通向量沒有位置概念，只有大小和方向.

而旋轉和縮放對於向量和點都有意義，你可以用類似上面齊次表示來檢測。從中可以看出，齊次座標用於仿射變換非常方便。

此外，對於一個普通座標的點 P=(Px, Py, Pz) ，有對應的一族齊次座標 (wPx, wPy, wPz, w) ，其中 w 不等於零。比如， P(1, 4, 7) 的齊次坐標有 (1, 4, 7, 1) 、（ 2, 8, 14, 2 ）、（ -0.1, -0.4, -0.7, -0.1 ）等等。因此，如果把一個點從普通座標變成齊次座標，給 x,y,z 乘上同一個非零數 w ，然後增加第 4 個分量 w ；如果把一個齊次座標轉換成普通座標，把前三個座標同時除以第 4 個座標，然後去掉第 4 個分量。

由於齊次座標使用了 4 個分量來表達 3D 概念，使得平移變換可以使用矩陣進行，從而如 F.S. Hill, JR 所說，仿射（線性）變換的進行更加方便。由於圖形硬件已經普遍地支持齊次座標與矩陣乘法，因此更加促進了齊次座標使用，使得它似乎成爲圖形學中的一個標準。

以上很好的闡釋了齊次座標的作用及運用齊次座標的好處。其實在圖形學的理論中，很多已經被封裝的好的API也是很有研究的，要想成爲一名專業的計算機圖形學的學習者，除了知其然必須還得知其所以然。這樣在遇到問題的時候才能迅速定位問題的根源，從而解決問題。

另一個帖子的介紹： http://www.cnblogs.com/kesalin/archive/2009/09/09/homogeneous.html

問題: 兩條平行線會相交

鐵軌在無限遠處相交於一點

在歐幾里得幾何空間裏，兩條平行線永遠都不會相交。但是在投影空間中，如右圖中的兩條鐵軌在地平線處卻是會相交的，因爲在無限遠處它們看起來相交於一點。

在歐幾里得（或稱笛卡爾）空間裏描述2D/3D 幾何物體是很理想的，但在投影空間裏面卻並不見得。我們用 (x, y ) 表示笛卡爾空間中的一個 2D 點，而處於無限遠處的點 (∞,∞) 在笛卡爾空間裏是沒有意義的。投影空間裏的兩條平行線會在無限遠處相交於一點，但笛卡爾空間裏面無法搞定這個問題（因爲無限遠處的點在笛卡爾空間裏是沒有意義的），因此數學家想出齊次座標這個點子來了。

解決辦法: 其次座標

由 August Ferdinand Möbius 提出的齊次座標（Homogeneous coordinates）讓我們能夠在投影空間裏進行圖像和幾何處理，齊次座標用 N + 1個分量來描述 N 維座標。比如，2D 齊次座標是在笛卡爾座標(X, Y)的基礎上增加一個新分量 w，變成(x, y, w)，其中笛卡爾座標系中的大X，Y 與齊次座標中的小x，y有如下對應關係：

X = x/w
Y = y/w

笛卡爾座標中的點 (1, 2) 在齊次座標中就是 (1, 2, 1) 。如果這點移動到無限遠(∞,∞)處，在齊次座標中就是 (1, 2, 0) ，這樣我們就避免了用沒意義的”∞” 來描述無限遠處的點。

爲什麼叫齊次座標？

前面提到，我們分別用齊次座標中的 x 和 y 除以 w 就得到笛卡爾座標中的 x 和 x，如圖所示：

仔細觀察下面的轉換例子，可以發現些有趣的東西：

上圖中，點 (1, 2, 3), (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 對應笛卡爾座標中的同一點 (1/3, 2/3)。任意數量積的(1a, 2a, 3a) 始終對應於笛卡爾座標中的同一點 (1/3, 2/3)。因此這些點是“齊次”的，因爲他們始終對應於笛卡爾座標中的同一點。換句話說，齊次座標描述縮放不變性（scale invariant）。