面試題 9 Fibonacci數列

1 Fibonacci 數列的定義

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2 Fibonacci 解法

遞歸計算 Fibonacci 數列

int fibonacci(int n){
    if(n<=0) return 0;
    if(n==1) return 1;
    return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
}

遞歸由於是函數調用自身，而函數調用是有時間和空間的消耗的：每一次函數調用，都需要在內存棧中分配空間以保存參數、返回地址及臨時變量，而且往棧裏壓入數據和彈出數據都需要時間。
除了效率之外，遞歸還有可能引起更嚴重的問題：調用棧溢出，遞歸每一次函數調用都需要在內存棧中分配空間，而且每一個進程的棧的容量是有限的。當遞歸的層級太多時，就會超出棧的容量，從而導致調用棧溢出
而且上述遞歸計算 Fibonacci 數列是存在大量的重複計算。

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循環計算 Finonacci 數列

int fibonacci(int n){
    int i;
    int result;
    int n_1=1;
    int n_2=0;
    if(n<=0) return 0;
    if(n==1) return 1;
    for(i=2;i<=n;i++){
        result=n_1+n_2;
        n_2=n_1;
        n_1=result;
    }
    return result;
}

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Fibonacci 數列的應用

一直青蛙一次可以跳上一個臺階，也可以跳上兩個臺階。求青蛙跳上一個 n 個臺階總共有多少種跳法。

1 個臺階時，只有一種跳法

2 個臺階時，存在兩種跳法

3 個臺階時，如果第一跳跳 1 個臺階，那剩下可能性就是 f（2），如果第一跳跳 2 個臺階，那麼剩下的可能性就是 f（1）

n 個臺階時，f（n）=f（n-1）+f（n-2）

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矩形覆蓋

有左邊的小矩形去覆蓋右邊的大矩形，總共有多少種方法？

先把 2*8 的覆蓋方法記爲 f（8），用第一個小矩形去覆蓋最左邊的時有兩個選擇，豎着放和橫着放。當豎着放的時候，右邊還剩下 2*7的區域記爲 f（7），接下來考慮橫着放的情況，當 1 *2 的小矩形橫着放在左上角的時候，左下角也必須橫着放一個 1*2 的小矩形，而在右邊還剩下 2*6 的區域，這種情況記爲 f（6），因此 f（8）=f（7）+f（6），即 Fibnacci 數列的一種應用。