NKOJ-Unknow 幸運數字

幸運數字
題目描述

每個人都會有幸運數字， 有種幸運數字是這樣定義的：
如果 X 是幸運數字， 則 X 在 m 進制下的表示爲 x1x2...xk， 一定有 x1<=x2<=...<=xk， 其中 k 可以表示 X 在 m 進制下的位數。
這樣的數字可能有無窮多個的， 但是如果是在 m 進制下位數不超過 n 的幸運數字， 就
應該是有限個了， 你能算出來嗎？
這個答案可能很大， 你只需要輸出答案對一個數 p 取模的值即可。

輸入格式

共一行， 三個正整數 n、 m 和 p， 保證 p 是質數。

輸出格式

共一行， 表示答案對 p 取模的值。

樣例輸入 1

4 3 23

樣例輸出 1

15

樣例輸入 2

4 10 10000079

樣例輸出 2

715

樣例說明

樣例 1 的 15 種方案如下：
0000,0001,0011,0111,1111,0002,0022,0222,2222,0012,0112,1222,1112,1122,1222

數據範圍

前 20%的數據滿足 n <= 18, m <= 10。
前 40%的數據滿足 n <= 100, m <= 100。
前 60%的數據滿足 n <= 1000, m <= 1000。
100%的數據滿足 n <= 10^7, m <= 10^7, n + m <= p, p <= 10000079

那這個人豈不是有無數個幸運數字，買彩票的時候不得糾結死

題解

分析

對於n=1

m=0 res=1
m=1 res=2
m=2 res=3

對於n=2

m=0 res=1
m=1 res=4
m=2 res=10

對於p=3

m=0 res=1
m=1 res=6
m=2 res=21

根據各種奇葩的打表得

對n，m，p，res=C[n+m-1][m-1]%mod

具體的過程我就不展示了…反正大家做不出來就根據結論去推過程

然後就是用盧卡斯定理求C[n+m-1][m-1]%mod

我知道這種直接擺結論實在是很弱，但是我也確實是很難求解…

附上對拍代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

long long mod;

long long KSM(long long a,long long b)
{
    long long res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)res=(res*a)%mod;
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return res;
}

long long C(long long a,long long b)
{
    if(a<b)return 0;
    if(a==b)return 1;
    if(b>a-b)b=a-b;
    long long A=1,B=1;
    for(int i=0;i<b;i++)
    {
        A=(A*(a-i))%mod;
        B=(B*(b-i))%mod;
    }
    return A*KSM(B,mod-2)%mod;
}

long long Lucas(long long n,long long m)
{
    if(m==0)return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}

int main()
{
    freopen("lucknum.in","r",stdin);
    freopen("lucknum.out","w",stdout);
    long long n,m;
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&mod);
    printf("%lld",Lucas(n+m-1,m-1));
}