判斷鏈表中是否有環 ----- 有關單鏈表中環的問題

給定一個單鏈表，判斷其中是否有環，已經是一個比較老同時也是比較經典的問題，在網上搜集了一些資料，

然後總結一下大概可以涉及到的問題，以及相應的解法。

首先，關於單鏈表中的環，一般涉及到一下問題：

1.給一個單鏈表，判斷其中是否有環的存在；

2.如果存在環，找出環的入口點；

3.如果存在環，求出環上節點的個數；

4.如果存在環，求出鏈表的長度；

5.如果存在環，求出環上距離任意一個節點最遠的點（對面節點）；

6.（擴展）如何判斷兩個無環鏈表是否相交；

7.（擴展）如果相交，求出第一個相交的節點；

下面，我將針對上面這七個問題一一給出解釋和相應的代碼。

1.判斷時候有環（鏈表頭指針爲head）

對於這個問題我們可以採用“快慢指針”的方法。就是有兩個指針fast和slow，開始的時候兩個指針都指向鏈表頭head，然後在每一步

操作中slow向前走一步即：slow = slow->next，而fast每一步向前兩步即：fast = fast->next->next。

由於fast要比slow移動的快，如果有環，fast一定會先進入環，而slow後進入環。當兩個指針都進入環之後，經過一定步的操作之後

二者一定能夠在環上相遇，並且此時slow還沒有繞環一圈，也就是說一定是在slow走完第一圈之前相遇。證明可以看下圖：

當slow剛進入環時每個指針可能處於上面的情況，接下來slow和fast分別向前走即：

[cpp]view
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if (slow != NULL && fast->next != NULL)  

{  

         slow = slow -> next ;  

         fast = fast -> next -> next ;  

}

也就是說，slow每次向前走一步，fast向前追了兩步，因此每一步操作後fast到slow的距離縮短了1步，這樣繼續下去就會使得

兩者之間的距離逐漸縮小：...、5、4、3、2、1、0 -> 相遇。又因爲在同一個環中fast和slow之間的距離不會大於換的長度，因此

到二者相遇的時候slow一定還沒有走完一週（或者正好走完以後，這種情況出現在開始的時候fast和slow都在環的入口處）。

下面給出問題1的完整代碼：

[cpp]view
plain copy

typedef struct node{  

    char data ;  

    node * next ;  

}Node;  

bool exitLoop(Node *head)  

{  

    Node *fast, *slow ;  

    slow = fast = head ;  

    while (slow != NULL && fast -> next != NULL)  

    {  

        slow = slow -> next ;  

        fast = fast -> next -> next ;  

        if (slow == fast)  

            return true ;  

    }  

    return false ;  

}

下面看問題2，找出環的入口點：

我結合着下圖講解一下：

從上面的分析知道，當fast和slow相遇時，slow還沒有走完鏈表，假設fast已經在環內循環了n(1<= n)圈。假設slow走了s步，則fast走了2s步，又由於

fast走過的步數 = s + n*r（s + 在環上多走的n圈），則有下面的等式：

2*s = s + n * r ; (1)

=> s = n*r (2)

如果假設整個鏈表的長度是L，入口和相遇點的距離是x（如上圖所示），起點到入口點的距離是a(如上圖所示)，則有：

a + x = s = n * r; (3) 由（2）推出

a + x = (n - 1) * r + r = (n - 1) * r + (L - a) (4) 由環的長度 = 鏈表總長度 - 起點到入口點的距離求出

a = (n - 1) * r + (L -a -x) (5)

集合式子（5）以及上圖我們可以看出，從鏈表起點head開始到入口點的距離a,與從slow和fast的相遇點（如圖）到入口點的距離相等。

因此我們就可以分別用一個指針（ptr1, prt2），同時從head與slow和fast的相遇點出發，每一次操作走一步，直到ptr1 == ptr2，此時的位置也就是入口點！

到此第二個問題也已經解決。

下面給出示意性的簡單代碼（沒有測試但是應該沒有問題）：

[cpp]view
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Node* findLoopStart(Node *head)  

{  

    Node *fast, *slow ;  

    slow = fast = head ;  

    while (slow != NULL && fast -> next != NULL)  

    {  

        slow = slow -> next ;  

        fast = fast -> next -> next ;  

        if (slow == fast) break ;  

    }  

    if (slow == NULL || fast -> next == NULL) return NULL ; //沒有環，返回NULL值  

    Node * ptr1 = head ; //鏈表開始點  

    Node * ptr2 = slow ; //相遇點  

    while (ptr1 != ptr2)   

    {  

        ptr1 = ptr1 -> next ;  

        ptr2 = ptr2 -> next ;  

    }  

    return ptr1 ; //找到入口點  

}