一類關於括號匹配的問題 區間dp

1。詢問最大匹配個數。POJ 2955
例題：給你一串()[]括號，要你求出這串括號的最大匹配個數，如’(‘與’)’匹配，爲2個，’[‘與’]’匹配，爲2個，其他不能匹配…….

題解：
就是區間dp。
dp[i][j]表示區間i到j中最大的匹配個數，轉移的時候枚舉k,(i

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;

const int N = 100 + 5;

char s[N];
int dp[N][N];
string a="end";

bool check(int l,int r){
    return (s[l]=='('&&s[r]==')')||(s[l]=='['&&s[r]==']');
}

int main(){
    while(1){
        scanf("%s",s);
        if(s==a) break;
        int n=strlen(s);
        for(int i=n;i>=1;i--) s[i]=s[i-1];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;++i) dp[i][i]=0;
        for(int len=2;len<=n;++len){
            for(int i=1;i+len-1<=n;++i){
                int j=i+len-1;
                for(int k=i;k<=j;++k){
                    if(check(i,k))
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][k-1]+dp[k+1][j]+1);
                    else dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
                }           
            }
        }
        printf("%d\n",dp[1][n]<<1);
    }
    return 0;
}

2。關於方案數的統計。
給出長度爲N的括號序列（只包含(,),[,]），問有多少種方法刪掉這些括號的一個子集，使得剩下的括號序列是合法的，請注意不能全部刪完。

題解：用dp[i][j]表示i到j中刪掉之後合法的方案數。
dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i+1][k-1]*dp[k+1]j

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 300 + 10;
const int mod = 1000000007;

int n;
char s[N];
ll dp[N][N][2];

bool check(int l,int r){
    if((s[l]=='('&&s[r]==')')||(s[l]=='['&&s[r]==']')) return true;
    return false;
}

ll f(int l,int r,bool status){
    if(dp[l][r][status]!=-1) return dp[l][r][status];
    if(l>r) return dp[l][r][status]=1;
    if(l==r) return dp[l][r][status]=status;    

    ll ans=0;
    ans=(ans+f(l+1,r,status))%mod;
    for(int k=l;k<=r;++k){
        if(check(l,k)){
            ans=(ans+1LL*f(l+1,k-1,1)*f(k+1,r,1)%mod)%mod;
        }
    }
    ans%=mod;
    return dp[l][r][status]=ans;
}

int main(){
    freopen("parenthesis.in","r",stdin);
    freopen("parenthesis.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);scanf("%s",s+1);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    cout<<f(1,n,0)<<endl;
    return 0;
}

3.添加最少的括號使原序列合法，輸出路徑。POJ 1141
題解：如果只是單純的問最少添加的括號，可以使用n（序列長度）-問題1的答案。但要輸出路徑。
我們再用一個數組pos[i][j]表示下標i到下標j之間斷開的位置，pos[i][j]爲0表示i直接與j匹配。
即在枚舉k的時候，用dp[i][j]記錄下斷開的位置k，（在k處斷開有最優解）
最後遞歸輸出。
如果l>r 邊界，返回。
如果l==r （遞歸邊界） dp[l][r]=1，至少需要加一個括號，則根據s[l]輸出合法的一對括號。
如果pos[l][r]==-1 即l和r匹配最優，則先輸出s[l]，再遞歸輸出（l+1,r-1）的情況，再輸出s[r].
如果pos[l][r]！=-1 即l和r中間斷開一下比較優，則遞歸處理（l，pos[l][r]）和(pos[l][r]+1,r)
update：10.29 poj簡直。。太嚴格了，沒輸出換行符就是WA

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

const int N = 100 + 5;

char s[N];
int dp[N][N],pos[N][N];

bool check(int l,int r){
    return ((s[l]=='('&&s[r]==')')||(s[l]=='['&&s[r]==']'));
}

void print(int l,int r){
    if(l>r) return ;
    if(l==r){
        if(s[l]=='('||s[l]==')') printf("()");
        else printf("[]");
        return ;
    }
    if(pos[l][r]==-1){
        printf("%c",s[l]);
        print(l+1,r-1);
        printf("%c",s[r]);
        return ;
    }
    print(l,pos[l][r]);
    print(pos[l][r]+1,r);
}

int main(){
    while(gets(s)){
        int n=strlen(s);
        for(int i=n;i>=1;i--) s[i]=s[i-1];
        memset(dp,63,sizeof(dp));
        memset(pos,-1,sizeof(pos));
        for(int i=1;i<=n;++i) dp[i][i]=1,dp[i][i-1]=0;
        //邊界情況的處理！！！ 
        for(int len=2;len<=n;++len){
            for(int i=1;i+len-1<=n;++i){
                int j=i+len-1;pos[i][j]=-1;
                if(check(i,j)) dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
                for(int k=i;k<j;++k){
                    if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j])
                    dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j],pos[i][j]=k;
                }
            }
        }
        print(1,n);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}