Leetcode C++ 70. Climbing Stairs 【斐波拉契數列】

原創

myRealization

2020-02-22 20:09

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Note: Given n will be a positive integer.

Example 1:

Input: 2
Output: 2
Explanation: There are two ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step
2. 2 steps

Example 2:

Input: 3
Output: 3
Explanation: There are three ways to climb to the top.
1. 1 step + 1 step + 1 step
2. 1 step + 2 steps
3. 2 steps + 1 step

題意：爬樓梯，每次走1步或者2步，走上n階的樓梯，有多少種走法。

方法一：暴力。O(2ⁿ)的時間複雜度，n=44過不去。

class Solution {
public:
    int stairs[50] = {0, 1, 2};
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 2) return n;
        else return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2); 
    }
};

方法二：記憶化搜索。memorization。因爲法一存在很多重複計算，導致時間太長，因此把一些已經求出來的解存進數組，不重複求解。時間空間都是O(n)。

執行用時 :0 ms, 在所有 C++ 提交中擊敗了100.00% 的用戶
內存消耗 :8.3 MB, 在所有 C++ 提交中擊敗了62.09%的用戶

class Solution {
public:
    int stairs[50] = {0, 1, 2};
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 2) return n;
        else {
            if (stairs[n - 1] == 0) stairs[n - 1] = climbStairs(n - 1);
            if (stairs[n - 2] == 0) stairs[n - 2] = climbStairs(n - 2);
            return stairs[n - 1] + stairs[n - 2];
        } 
    }
};

方法三：動態規劃。這個問題可以被分解爲一些包含最優子結構的子問題，即它的最優解可以從其子問題的最優解來有效地構建。第 i 階可以由以下兩種方法得到：
```
 在第 (i−1) 階後向上爬 1 階。 
 在第 (i−2) 階後向上爬 2 階。
```
所以到達第 i 階的方法總數就是到第 (i−1) 階和第 (i-2) 階的方法數之和。令 dp[i] 表示能到達第 iii 階的方法總數：dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]。時間空間複雜度均爲O(n)。

執行用時 :4 ms, 在所有 C++ 提交中擊敗了62.73% 的用戶
內存消耗 :8.4 MB, 在所有 C++ 提交中擊敗了54.70%的用戶
```
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 2) return n;
        int *dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};
```
方法四：斐波那契數列遞推。這個題實際上就是斐波拉契數列。只需使用兩個變量即可推出答案要求的解。時間O(n)，空間O(1)。 Fib(n)=Fib(n−1)+Fib(n−2)。

現在我們必須找出以 1 和 2 作爲第一項和第二項的斐波那契數列中的第 n 個數，也就是說 Fib(1)=1 且 Fib(2)=2。

執行用時 :0 ms, 在所有 C++ 提交中擊敗了100.00% 的用戶
內存消耗 :8.3 MB, 在所有 C++ 提交中擊敗了70.59%的用戶
```
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 2) return n;
        int first = 1, second = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int third = first + second;
            first = second;
            second = third;
        }
        return second;
    }
};
```
方法五：斐波拉契數列求解公式：
$F_n = 1/\sqrt{5}\left[ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \right]$
$F_n = 1/\sqrt{5}\left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \right)$
時間複雜度爲O(log(n))，用在快速冪上面了，空間O(1)。
執行用時 :4 ms, 在所有 C++ 提交中擊敗了62.73% 的用戶
內存消耗 :8.5 MB, 在所有 C++ 提交中擊敗了32.17%的用戶
```
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        double sqrt5 = sqrt(5.0);
        double fibn = pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
        return (int)(fibn / sqrt5);
    }
};
```
方法六：Binets方法：使用矩陣相乘。
solutions裏面分享的方法。