N-Queens II 經典問題：8皇后問題 題解

題目

上一篇我們使用了回溯法，然而提到回溯法就不得不提一個1848年提出的經典題目：8皇后問題，這個問題描述非常簡單，一個8*8的棋盤上，放置8個皇后，使得每個皇后都不行相互攻擊，既每個皇后的所在行、所在列、所在斜線上都不能有其他皇后，問有多少種解法，題目初看非常像圖論問題，實際上也確實是，對圖論感興趣的同學可以去看離散數學的相關內容，這裏我們用一種更巧妙也更直觀的方法來解決這個問題，那就是——回溯法
在這道經典題目和後面的幾篇微博所討論的題目，我們可以感受到回溯法在解決一些限定某些條件求解（求路徑）的問題上是一個多麼萬能又精巧的的算法
題目:
The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

return the total number of distinct solutions.

Difficulty: Hard

分析：

題目沒有侷限於8皇后而是進行了延伸，擴展到n皇后，實際上原理是一模一樣的
初看題目可能沒有頭緒，想到回溯法卻不知道切入點在哪，實際上，對於回溯法問題，無非是給定的“圖”和限定條件：

這裏圖就是一個n*n的方格，我們先抽象成一個n*n的矩陣，用二維數組代替，皇后可以抽象爲矩陣中的元素，用二維數組中的元素代替，不妨設0是沒有放皇后，1是放了皇后
限定條件既矩陣中的元素互相不在同一行同一列同一斜線，轉化爲二維數組後我們發現對於不同行不同列是很好判斷的，比如，方格座標爲(i,j)，只要在決定一個方格放不放皇后的時候檢查第i行第j列是否有其他皇后就可以，斜線似乎有點棘手，實際上我們抽象出兩個皇后就可以看出來解決方案：

看看這兩條線，假設方程分別爲：y=kx+b; 其中A(x1,y1) B(x2,y2) 兩點分別是兩條線上的點，我麼代入原方程然後相減就可以得到：y2−y1=k(x2−x1) 因爲是棋盤，這裏k 只有+1,−1 兩個取值，於是我們就可以得到|y2−y1|=|x2−x1|
最後一個問題就是怎樣保存已經放置皇后的位置，最直觀的想法就是把二位數組放置皇后的位置置1

方案：

解決了這三個個問題，我們很直觀得出解法：

start：
初始化數組
放置皇后{
    if(放置位置超出範圍){
        求解數自增，返回
    }
    else{
        for(從第一行開始到最後一行){
            if(位置可放皇后) 放置
            遞歸檢查下一個放置皇后位置
        }
    }
}
end

代碼

這裏我們可以發現，由於規則中同一行只能有一個皇后，所以我們不必要用一個二維數組來模擬棋盤，只要一個一位數組，每個元素代表是否存在皇后就可以完成記錄放置點的任務，所以最終的代碼如下：

class Solution {
private:
    vector<int> queen;
    //記錄解的個數
    int count = 0;
public:
    //檢查位置是否可放皇后
    bool CheckPlace(int Checkline, int Checkrow) {
        for (int i = 0; i < Checkline; i++) {
            if (queen[i] == Checkrow || abs(Checkline - i) == abs(Checkrow - queen[i])) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    //放置皇后
    void PlaceQueen(int Checkline, int n) {
        if (Checkline == n) {
            count++;
            return;
        }
        //如果沒有完成一個解就繼續
        else {
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (CheckPlace(Checkline, i)) {
                    queen[Checkline] = i;
                    PlaceQueen(Checkline + 1, n);
                }
            }
        }
    }
    int totalNQueens(int n) {
        queen.resize(n);
        PlaceQueen(0, n);
        return count;
    }
};

通過上面的分析，這個代碼是很容易理解的，但是歲回溯法或者對遞歸不熟悉的同學肯定會有疑問（就是當初的我。。。），代碼裏只有一個0-n的循環，如何保證求出所有解，沒有足夠的判斷語句又是如何保證不會出現相同的解的呢？
而這實際上就是遞歸實現回溯法的優點，要想說明這個問題，我們需要看這段代碼：

void PlaceQueen(int Checkline, int n) {
    if (Checkline == n) {
        count++;
        return;
    }
    //如果沒有完成一個解就繼續
    else {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (CheckPlace(Checkline, i)) {
                queen[Checkline] = i;
                PlaceQueen(Checkline + 1, n);
            }
        }
    }
}

一個重要問題

我們跟着代碼走一遍，看看他做了什麼，第一個解的求解非常好理解，我們假設第一個解求完，由於每次都是for循環只進行一次就從PlaceQueen(Checkline + 1, n) 進入了下次遞歸，所以我們已經進入了8次遞歸嵌套，此時for循環中 依然i==0，然後放置皇后，Checkline==7，代表第8行皇后放置完畢PlaceQueen(Checkline + 1, n) 語句會進入下一次遞歸，然後Checkline==8 if (Checkline == n) 條件成立，執行return命令，返回到哪裏了呢？
返回到了上一層進入點，就是這裏：PlaceQueen(Checkline + 1, n) 下面，既這條語句已經執行完，i++，此時繼續循環
由於我們每次遞歸的退出都是確定了8個點的位置，然後改變最後的點，求下個解，這樣一步步的回退，保證不會有重複解，而且，一個8次的循環，每次要嵌套8層遞歸，實際上是做了8^8次探測，保證不會漏解
從上面的分析可以看出來，N皇后的結題時間是指數倍增長，上面的算法，解8皇后不到1ms，解10皇后20ms，12皇后就需要596ms之多

總結

回溯法的遞歸實現對於解決這樣的大規模複雜問題不是最高效的，但往往是最直觀也是最容易理解的，畢竟當年數學之王高斯都只算出76中解法的問題我們用回溯法，不用1ms就求出了正確答案
當然，想只憑這一道題就掌握回溯法是不可能的，下面我會寫一系列的回溯法題解，只有大量的練習，纔是真正理解問題並能夠實際解決問題的唯一途徑