NOIP 2011 計算係數 快速冪+組合數

題目描述

給定一個多項式(by+ax)k$(by+ax{)}^k$ ，請求出多項式展開後xn∗ym$x^n\ast y^m$ 項的係數。

輸入格式：

輸入文件名爲factor.in。

共一行，包含5 個整數，分別爲 a ，b ，k ，n ，m，每兩個整數之間用一個空格隔開。

輸出格式：

輸出共1 行，包含一個整數，表示所求的係數，這個係數可能很大，輸出對10007 取模後的結果。

輸入樣例：

1 1 3 1 2

輸出樣例：

3

題解

首先根據二項式定理，我們可以得到(a+b)n=∑r=0nCrnan−rbr$(a+b{)}^n=\sum _{r=0}^n{C}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ ，因爲題目中要求說是求(by+ax)k$(by+ax{)}^k$ 展開後xnym$x^n{y}^m$ 的係數，
我們設A=ax,B=by$A=ax,B=by$ .則(ax+by)k=(A+B)k$(ax+by{)}^k=(A+B{)}^k$ ,
套入二項式定理就可以得到
(A+B)k=∑r=0nCrnAn−rBr$(A+B{)}^k=\sum _{r=0}^n{C}_n^r{A}^{n-r}{B}^r$ ,
把A=ax,B=by$A=ax,B=by$ 代入就可以得到
(ax+by)k=∑r=0nCrn(ax)n−r(by)r=∑r=0nCrnan−rbrxn−ryr$(ax+by{)}^k=\sum _{r=0}^n{C}_n^r(ax{)}^{n-r}(by{)}^r=\sum _{r=0}^n{C}_n^r{a}^{n-r}{b}^r{x}^{n-r}{y}^r$ ，
先求出組合數，然後用快速冪就可以求出係數了。

代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#define ll long long
const int MAXN=1002;
ll c[MAXN][MAXN];
int n,m,a,b,k;
using namespace std;
void Init()
{
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=k;j++)
        {
            c[i][j]=(c[i-1][j]%10007+c[i-1][j-1]%10007)%10007;
        }
    }
}
ll qsm(ll a,ll b)
{
    ll sum=1;
    while(b) 
    {
        if(b&1) 
        sum=(sum*a)%10007;
        a=a*a%10007;
        b>>=1;
    }
    return sum%10007;
} 
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
    Init();
    printf("%lld",(c[k][m]*(qsm(a,n)%10007*qsm(b,m)%10007))%10007);
    return 0;
}