【BZOJ3505】 [Cqoi2014]數三角形 組合數學

Description

給定一個nxm的網格，請計算三點都在格點上的三角形共有多少個。下圖爲4x4的網格上的一個三角形。

注意三角形的三點不能共線。

Input

輸入一行，包含兩個空格分隔的正整數m和n。

Output

輸出一個正整數，爲所求三角形數量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

題解

我們可以發現從網格中選取三角形，實際上就是從(n+1)∗(m+1)$(n+1)\ast (m+1)$ 個點中選取3個點，然後再減去多餘的就可以了。
怎麼減去多於的呢，我們首先考慮每一列，存在三點共線的情況有C[n][3]$C[n][3]$ 種，一共m列.然後考慮每一行，存在三點共線的情況一共是C[m][3]$C[m][3]$ 種，一共n行，最後考慮對角線的情況，對於對角線的情況我們只需要計算出座標(i,j)$(i,j)$ 的gcd就可以/

代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;
const int MAXN=1e3;
ll c[1000004][5],n,m,sum,ans;
ll gcd(int a,int b)
{
    return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}
void Init()
{
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=sum;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=3;j++)
        {
            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    n++,m++;
    sum=n*m;
    Init(); 
    ans=c[sum][3];
    ans-=c[n][3]*m+c[m][3]*n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<m;j++)
        {
            ll now=gcd(i,j);
            if(now==1) continue ;
            now++;
            ans-=(now-2)*(n-i)*(m-j)*2;
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}