算法導論 第4章 分治策略（1）

算法導論 第4章 分治策略（1）

分治策略 的三個步驟：

1. 分解爲若干子問題，子問題形式與原問題相同，但規模更小
2. 遞歸地解決子問題，若子問題規模足夠小則停止遞歸，直接求解
3. 合併爲原問題的解式

足夠大需要遞歸求解的子問題稱爲 遞歸情況，不再需要遞歸的足夠小的子問題稱爲 基本情況。

求解遞歸式，即得到算法的Θ或O漸近界的方法的方法：

• 代入法：猜測一個界，用數學歸納法證明
• 遞歸樹法：將遞歸式轉換爲一棵樹，節點表示遞歸調用產生的代價，然後用邊界和技術來求解
• 主方法：用於解形如
  
  的遞歸式

最大子數組問題

考慮購買股票的問題，希望在股票價格變化值的序列中找到最優購買和出售時機。

若使用暴力求解的方法，嘗試每對可能的購買和出售時間組合，則運行時間爲Ω(n²)。

將數據轉變爲每日價格相對於前一天的價格差，則問題轉化爲尋找數組A的和最大的非空連續子數組，即 最大子數組：

使用分治策略求解該問題，假設數組範圍爲A[low…high]，中央位置mid，則最大子數組必然位於三種情況之一：

• 完全處於子數組A[low…mid]中
• 完全處於子數組A[mid+1…high]中
• 跨越中點

即最大子數組爲三種情況的所有子數組中和最大者。

跨越中點的情況比較容易，只需找到形如A[i…mid]和A[mid+1…j]的最大子數組併合並：

該方法花費Θ(n)時間。

由此即可設計出求解最大子數組問題的分治算法：

建立遞歸式來描述該算法運行時間：

使用主方法可求出其解爲T(n)=Θ(nlgn)，優於暴力求解的方法。

矩陣乘法的Strassen算法

考慮矩陣乘法問題，即：

常規計算方法：

該方法花費Θ(n³)時間。

使用分治方法計算矩陣乘法C=A·B，假定三個矩陣都是nxn，n爲2的冪，將每個矩陣分解爲4個n/2xn/2的子矩陣，於是矩陣乘法改寫爲：

直接進行遞歸分治算法：

其中矩陣分解時使用下標計算，花費Θ(1)時間，8次遞歸調用花費8T(n/2)時間，4次矩陣加法花費Θ(n²)時間，所以總的運行時間爲：

Strassen方法在此基礎上減少了一次矩陣乘法。其步驟如下：

1. 將矩陣A、B、C分解爲n/2xn/2的子矩陣，花費時間Θ(1)
2. 創建10個n/2xn/2的矩陣S₁…S₁₀，每個矩陣保存步驟1中創建的兩個子矩陣的和或差，花費時間Θ(n²)
3. 用子矩陣和10個矩陣遞歸的計算7個矩陣積P₁…P₇，每個P矩陣都是n/2xn/2的。
4. 通過P矩陣進行加減運算得到C矩陣的4個子矩陣，花費時間Θ(n²)

其中步驟2中創建的矩陣：

步驟3中的7次矩陣乘法：

步驟4中的矩陣加減法：

該算法運行時間：

由主方法可求得T(n)=Θ(n^lg7)。