算法導論 第4章 分治策略（2）

算法導論 第4章 分治策略（2）

代入法求解遞歸式

代入法求解遞歸式的步驟：

1. 猜測解的形式
2. 用數學歸納法求出解中的常數，並證明解正確

如對遞歸式：

猜測其解爲T(n)=O(nlgn)，代入法要求證明恰當選擇常數c>0，可有T(n)<=cnlgn。假定此上屆對所有m < n成立，代入得到：

其中只要c>=1，最後一步即成立。注意到對n=1，邊界條件T(1)<=c1lg1=0與T(1)=1矛盾，對於這種情況可以修改歸納證明中的基本情況，換爲T(2)或T(3)即可。

遞歸樹方法求解遞歸式

對於代入法，有時想到一個好的猜測比較困難。在遞歸樹方法中，遞歸樹的每個節點表示一個單一子問題的代價，將樹中的代價求和即可得到遞歸調用的總代價，適合用來生成好的猜測，並用代入法驗證。

對於遞歸式：

構造遞歸樹：

整個遞歸樹共有log₄n+1層，其中第i層由3<ⁱ個節點，每個節點的代價爲c(n/4ⁱ)²，所以整棵樹代價之和爲：

計算過程中利用了一定程度的不精確，推導出一個猜測T(n)=O(n²)。接下來即可利用代入法證明猜測正確：

當d>=(16/13)c時推導成立。

主方法求解遞歸式

主方法專門用於求解這種形式的遞歸式：

主定理：令a>=1和b>1是常數，對於定義在非負整數的函數T(n)=aT(n/b)+f(n)，T(n)由如下漸近界：

如對於遞歸式：

a=9，b=3，f(n)=n，n^log_ba=Θ(n²)，有f(n)=O(n^log₃9-ε)，ε=1，對應情況1，得到解T(n)=Θ(n²)。