【題解】HDU1892 See you~

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題目大意：你有三種操作：

• S x1 y1 x2 y2$Sx1y1x2y2$ 表示查詢從 (x1,y1)$(x1,y1)$ 到 (x2,y2)$(x2,y2)$ 之間這塊矩形中所有數之和。
• A x1 y1 n1$Ax1y1n1$ 表示給 (x1,y1)$(x1,y1)$ 那堆增加 n1$n1$ 本書
• D x1 y1 n1$Dx1y1n1$ 表示給 (x1,y1)$(x1,y1)$ 那堆減去 n1$n1$ 本書（書目不足的話就全部拿走）
• M x1 y1 x2 y2 n1$Mx1y1x2y2n1$ 表示從 (x1,y1)$(x1,y1)$ 這堆中拿出 n1$n1$ 本書搬到 (x2,y2)$(x2,y2)$ 上（書目不足全部搬走）

首先拿到題目，有很多修改操作，直接前綴和維護很難修改，二維線段樹寫起來又非常繁瑣，現在可供我們使用的就是二維樹狀數組。

樹狀數組還不是很清楚的請戳這

樹狀數組的一大優點就是非常容易拓展到高維。我們先定義二維下的問題，類似地，大家可以自行定義更高維的情況。
定義一個二維數組 a[1..n,1..n]$a[\mathrm{1..}n,\mathrm{1..}n]$ ，並維護以下兩個操作：

• 修改：給 a[i,j]$a[i,j]$ 加上一個增量 delta$delta$
• 查詢：詢問左上角 a[1..x,1..y]$a[\mathrm{1..}x,\mathrm{1..}y]$ 的和，即 ∑xi=1∑yj=1a[i,j]$\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^{y}a[i,j]$ 。

我們同樣用一個二維數組 sum$sum$ 維護被分割的“子集”之和，模仿一維情形下的定義，將二維的 sum$sum$ 數組定義如下： sum[x,y]=∑xi=x−c(x)+1∑yj=y−c(y)+1a[i,j]$sum[x,y]=\sum _{i=x-c(x)+1}^x\sum _{j=y-c(y)+1}^{y}a[i,j]$ 。
不妨做這樣的類比：當 sum$sum$ 數組的第一維座標固定後， sum$sum$ 數組又可以看做以爲的情形，只是這個一位數組是記錄的二維數組 a$a$ 對應行的若干列合併之後的部分和。
看了代碼之後應該就很清晰了。

int c[MAXSIZE][MAXSIZE];
namespace BIT_2D {
    inline int lowbit(int x) { 
        return x & -x; 
    }
    void update(int x, int y, int d) {  
        for (int i = x; i < MAXSIZE; i += lowbit(i))
            for (int j = y; j < MAXSIZE; j += lowbit(j)) 
                c[i][j] += d;
    }
    int query(int x, int y) {  
        int ret = 0;  
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
            for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))
                ret += c[i][j];
        return ret;  
    }  
}
using namespace BIT_2D;

另外建議做了這道題之後去看看HDU3584，相信對你鍛鍊樹狀數組拓展到高維的能力會很有幫助。
下面來考慮怎麼用二維樹狀數組實現上面幾個操作。

• S$S$ 操作，就是查詢，我們先將兩個數對調整爲 x1<x2$x1<x2$ 和 y1<y2$y1<y2$ ， 便於進行查詢，查詢方法和二維前綴和完全一樣。實際上就是容斥原理的應用。

int calc(int x1, int y1, int x2, int y2) {
        return query(x2, y2) - query(x1 - 1, y2) - query(x2, y1 - 1) + query(x1 - 1, y1 - 1);
    }

• A，D，M$A，D，M$ 操作，單點修改，直接調用 update()$update()$ 即可，若是減去就添個負號。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXSIZE 1010
int c[MAXSIZE][MAXSIZE];
namespace BIT_2D {
    inline int lowbit(int x) { 
        return x & -x; 
    }
    void update(int x, int y, int d) {  
        for (int i = x; i < MAXSIZE; i += lowbit(i))
            for (int j = y; j < MAXSIZE; j += lowbit(j)) 
                c[i][j] += d;
    }
    int query(int x, int y) {  
        int ret = 0;  
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
            for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))
                ret += c[i][j];
        return ret;  
    }  
    int calc(int x1, int y1, int x2, int y2) {
        return query(x2, y2) - query(x1 - 1, y2) - query(x2, y1 - 1) + query(x1 - 1, y1 - 1);
    }
}
using namespace BIT_2D;
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for (int t = 1; t <= T; t++) {
        printf("Case %d:\n", t);
        memset(c, 0, sizeof c);
        for (int i = 1; i < MAXSIZE; i++)
            for (int j = 1; j < MAXSIZE; j++)
                update(i, j, 1);
        int m;
        scanf("%d", &m);
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int x1, y1, x2, y2, n;
            char ch = getchar();
            while (ch != 'S' && ch != 'A' && ch != 'D' && ch != 'M') ch = getchar();
            if (ch == 'S') {
                scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
                x1++; y1++; x2++; y2++;
                if (x1 > x2) std::swap(x1, x2);
                if (y1 > y2) std::swap(y1, y2);
                printf("%d\n", calc(x1, y1, x2, y2));
            }
            else if (ch == 'A') {
                scanf("%d%d%d", &x1, &y1, &n);
                x1++; y1++;
                update(x1, y1, n);
            }
            else if (ch == 'D') {
                scanf("%d%d%d", &x1, &y1, &n);
                x1++; y1++; 
                n = std::min(n, calc(x1, y1, x1, y1));
                update(x1, y1, -n);
            }
            else if (ch == 'M') {
                scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &n);
                x1++; y1++; x2++; y2++;
                n = std::min(n, calc(x1, y1, x1, y1));
                update(x1, y1, -n);
                update(x2, y2, n);
            }
        }
    }
    return 0;
}