本文主要參考了http://www.cnblogs.com/xrwang/archive/2011/03/09/ransac-1.html
http://grunt1223.iteye.com/blog/961063
http://www.cnblogs.com/xrwang/p/SampleOfRansac.html
http://www.cnblogs.com/yin52133/archive/2012/07/21/2602562.html
例子：給定兩個點可確定一條直線，判斷第三個點是不是在這條直線上，只需判斷第三個點是否符合這條直線的表達式，即向量計算。但在實際測量中，給定一組點，這組點的任意兩點都可確定一條直線，由於測量誤差，這些直線不一定一致，所以我們要找到適合這組點的直線，必須要這組點到這條直線模型Y=aX+b的誤差最小。最小二乘法（線性迴歸）的思想是通過計算最小均方差關於參數a、b的偏導數爲零時的值。但最小二乘法只適合噪聲較小的數據，對於只有20%的點是正確點的時候，就不行了。下圖就是最小二乘法不適用的時候。
局內點就是肉眼可看出的符合直線模型的點，離的比較遠的點就是局外點。最小二乘法是適應於所有點的算法，所以不適用。這時就要用RANSAC算法了。
RANSAC是“RANdom SAmple Consensus（隨機抽樣一致）”的縮寫。它可以從一組包含“局外點”的觀測數據集中，通過迭代方式估計數學模型的參數。它是一種不確定的算法——它有一定的概率得出一個合理的結果；爲了提高概率必須提高迭代次數。該算法最早由Fischler和Bolles於1981年提出。
RANSAC的基本假設是：
（1）數據由“局內點”組成，例如：數據的分佈可以用一些模型參數來解釋；
（2）“局外點”是不能適應該模型的數據；
（3）除此之外的數據屬於噪聲，局外點產生的原因有：噪聲的極值；錯誤的測量方法；對數據的錯誤假設。
RANSAC也做了以下假設：給定一組（通常很小的）局內點，存在一個可以估計模型參數的過程；而該模型能夠解釋或者適用於局內點。在模型確定以及最大迭代次數允許的情況下，RANSAC總是能找到最優解。經過我的實驗，對於包含80%誤差的數據集，RANSAC的效果遠優於直接的最小二乘法。
RANSAC通過反覆選擇數據中的一組隨機子集來達成目標。被選取的子集被假設爲局內點，並用下述方法進行驗證：
1.有一個模型適應於假設的局內點，即所有的未知參數都能從假設的局內點計算得出。
2.用1中得到的模型去測試所有的其它數據，如果某個點適用於估計的模型，認爲它也是局內點。
3.如果有足夠多的點被歸類爲假設的局內點，那麼估計的模型就足夠合理。
4.然後，用所有假設的局內點去重新估計模型，因爲它僅僅被初始的假設局內點估計過。
5.最後，通過估計局內點與模型的錯誤率來評估模型。
這個過程被重複執行固定的次數，每次產生的模型要麼因爲局內點太少而被捨棄，要麼因爲比現有的模型更好而被選用。
輸入：
data —— 一組觀測數據
model —— 適應於數據的模型
n —— 適用於模型的最少數據個數
k —— 算法的迭代次數
t —— 用於決定數據是否適應於模型的閥值
d —— 判定模型是否適用於數據集的數據數目
輸出：
best_model —— 跟數據最匹配的模型參數（如果沒有找到好的模型，返回null）
best_consensus_set —— 估計出模型的數據點
best_error —— 跟數據相關的估計出的模型錯誤
iterations = 0
best_model = null
best_consensus_set = null
best_error = 無窮大
while ( iterations < k ) //設置迭代次數爲k
maybe_inliers = 從數據集中隨機選擇n個點
maybe_model = 適合於maybe_inliers的模型參數
consensus_set = maybe_inliers
for ( 每個數據集中不屬於maybe_inliers的點 ）
if ( 如果點適合於maybe_model，且錯誤小於t ）
將點添加到consensus_set
if （ consensus_set中的元素數目大於d ）
已經找到了好的模型，現在測試該模型到底有多好
better_model = 適合於consensus_set中所有點的模型參數
this_error = better_model究竟如何適合這些點的度量
if ( this_error < best_error )
我們發現了比以前好的模型，保存該模型直到更好的模型出現
best_model = better_model
best_consensus_set = consensus_set
best_error = this_error
增加迭代次數
返回 best_model, best_consensus_set, best_error
RANSAC算法的可能變化包括以下幾種：
（1）如果發現了一種足夠好的模型（該模型有足夠小的錯誤率），則跳出主循環。這樣可能會節約計算額外參數的時間。
（2）直接從maybe_model計算this_error，而不從consensus_set重新估計模型。這樣可能會節約比較兩種模型錯誤的時間，但可能會對噪聲更敏感。對於輸入的參數，根據特定的問題和數據集通過實驗來確定參數t閾值和d適用的數目。
參數k可以通過理論進行估計：
用p表示一些迭代過程中從數據集內隨機選取出的點均爲局內點的概率；此時，結果模型很可能有用，因此p也表徵了算法產生有用結果的概率。用w表示每次從數據集中選取一個局內點的概率，如式所示：w = 局內點的數目 / 數據集的數目。
事先並不知道w的值，但是可以給出一些魯棒的值。假設估計模型需要選定n個點，wn是所有n個點均爲局內點的概率；1 − wn是n個點中至少有一個點爲局外點的概率，此時表明我們從數據集中估計出了一個不好的模型。 (1 − wn)k表示算法永遠都不會選擇到n個點均爲局內點的概率，它和1-p相同。因此，
兩邊取對數：
值得注意的是，這個結果假設n個點都是獨立選擇的；也就是說，某個點被選定之後，它可能會被後續的迭代過程重複選定到。這種方法通常都不合理，由此推導出的k值被看作是選取不重複點的上限。例如，要從上圖中的數據集尋找適合的直線，RANSAC算法通常在每次迭代時選取2個點，計算通過這兩點的直線maybe_model，要求這兩點必須唯一。
應用：
檢測直線的過程
（1）隨機從觀測點中選擇兩個點，得到通過該點的直線；
（2）用（1）中的直線去測試其他觀測點，由點到直線的距離確定觀測點是否爲局內點或者局外點；
（3）如果局內點足夠多，並且局內點多於原有“最佳”直線的局內點，那麼將這次迭代的直線設爲“最佳”直線；
（4）重複（1）~（3）步直到找到最佳直線。檢測圓的過程
（1）隨機從觀測點中選擇三個點，嘗試得到通過這三個點的圓；
（2）用（1）中的圓去測試其他觀測點，由點到圓的距離確定觀測點是否爲局內點或者局外點；
（3）如果局內點足夠多，並且局內點多於原有“最佳”圓的局內點，那麼將這次迭代的圓設爲“最佳”圓；
（4）重複（1）~（3）步直到找到最佳圓。
RANSAC算法的輸入是一組觀測數據，一個可以解釋或者適應於觀測數據的參數化模型，一些可信的參數。
用RANSAC算法是 從觀測點雲PB找一個隨機的點對計算不變特徵，找目標點雲PR裏特徵最像的來匹配，計算qR和qT。模型對應的是空間中一個點雲數據到另外一個點雲數據的旋轉以及平移。
第一步隨機得到的是一個點雲中的點對 ，利用其不變特徵（兩點距離，兩點法向量夾角）作爲哈希表的索引值搜索另一個點雲中的一對對應點對，然後計算得到旋轉及平移的參數值。
然後適用變換，找到其他局內點，並在找到局內點之後重新計算旋轉及平移爲下一個狀態。
然後迭代上述過程，找到最終的位置。
RANSAC算法經常用於計算機視覺，例如同時求解相關問題與估計立體攝像機的基礎矩陣。
圖片的拼接技術。由於鏡頭的限制，往往需要多張照片才能拍下那種巨幅的風景。在多幅圖像合成時，事先會在待合成的圖片中提取一些關鍵的特徵點。計算機視覺的研究表明，不同視角下物體往往可以通過一個透視矩（3X3或2X2）陣的變換而得到。RANSAC被用於擬合這個模型的參數（矩陣各行列的值），由此便可識別出不同照片中的同一物體。
RANSAC還可以用於圖像搜索時的糾錯與物體識別定位。有幾條直線是SIFT匹配算法的誤判，RANSAC有效地將其識別，並將正確的模型用線框標註出來。在opencv的三維重構和標定模塊中有很多應用，如solvePnPRansac，findHomography，estimateAffine3D等。
附錄：最小二乘法的算法
#include <math.h>
#include "LineParamEstimator.h"
LineParamEstimator::LineParamEstimator(double delta) : m_deltaSquared(delta*delta) {}
/*****************************************************************************/
/*
* Compute the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y]
* 通過輸入的兩點來確定所在直線，採用法線向量的方式來表示，以兼容平行或垂直的情況
* 其中n_x,n_y爲歸一化後，與原點構成的法線向量，a_x,a_y爲直線上任意一點
*/
void LineParamEstimator::estimate(std::vector<Point2D *> &data,
std::vector<double> ¶meters)
{
parameters.clear();
if(data.size()<2)
return;
double nx = data[1]->y - data[0]->y;
double ny = data[0]->x - data[1]->x;// 原始直線的斜率爲K，則法線的斜率爲-1/k
double norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);
parameters.push_back(nx/norm);
parameters.push_back(ny/norm);
parameters.push_back(data[0]->x);
parameters.push_back(data[0]->y);
}
/*****************************************************************************/
/*
* Compute the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y]
* 使用最小二乘法，從輸入點中擬合出確定直線模型的所需參量
*/
void LineParamEstimator::leastSquaresEstimate(std::vector<Point2D *> &data,
std::vector<double> ¶meters)
{
double meanX, meanY, nx, ny, norm;
double covMat11, covMat12, covMat21, covMat22; // The entries of the symmetric covarinace matrix
int i, dataSize = data.size();
parameters.clear();
if(data.size()<2)
return;
meanX = meanY = 0.0;
covMat11 = covMat12 = covMat21 = covMat22 = 0;
for(i=0; i<dataSize; i++) {
meanX +=data[i]->x;
meanY +=data[i]->y;
covMat11 +=data[i]->x * data[i]->x;
covMat12 +=data[i]->x * data[i]->y;
covMat22 +=data[i]->y * data[i]->y;
}
meanX/=dataSize;
meanY/=dataSize;
covMat11 -= dataSize*meanX*meanX;
covMat12 -= dataSize*meanX*meanY;
covMat22 -= dataSize*meanY*meanY;
covMat21 = covMat12;
if(covMat11<1e-12) {
nx = 1.0;
ny = 0.0;
}
else { //lamda1 is the largest eigen-value of the covariance matrix
//and is used to compute the eigne-vector corresponding to the smallest
//eigenvalue, which isn't computed explicitly.
double lamda1 = (covMat11 + covMat22 + sqrt((covMat11-covMat22)*(covMat11-covMat22) + 4*covMat12*covMat12)) / 2.0;
nx = -covMat12;
ny = lamda1 - covMat22;
norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);
nx/=norm;
ny/=norm;
}
parameters.push_back(nx);
parameters.push_back(ny);
parameters.push_back(meanX);
parameters.push_back(meanY);
}
/*****************************************************************************/
/*
* Given the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y] check if
* [n_x, n_y] dot [data.x-a_x, data.y-a_y] < m_delta
* 通過與已知法線的點乘結果，確定待測點與已知直線的匹配程度；結果越小則越符合，爲
* 零則表明點在直線上
*/
bool LineParamEstimator::agree(std::vector<double> ¶meters, Point2D &data)
{
double signedDistance = parameters[0]*(data.x-parameters[2]) + parameters[1]*(data.y-parameters[3]);
return ((signedDistance*signedDistance) < m_deltaSquared);
} RANSAC算法
/*****************************************************************************/
template<class T, class S>
double Ransac<T,S>::compute(std::vector<S> ¶meters,
ParameterEsitmator<T,S> *paramEstimator ,
std::vector<T> &data,
int numForEstimate)
{
std::vector<T *> leastSquaresEstimateData;
int numDataObjects = data.size();
int numVotesForBest = -1;
int *arr = new int[numForEstimate];// numForEstimate表示擬合模型所需要的最少點數，對本例的直線來說，該值爲2
short *curVotes = new short[numDataObjects]; //one if data[i] agrees with the current model, otherwise zero
short *bestVotes = new short[numDataObjects]; //one if data[i] agrees with the best model, otherwise zero
//there are less data objects than the minimum required for an exact fit
if(numDataObjects < numForEstimate)
return 0;
// 計算所有可能的直線，尋找其中誤差最小的解。對於100點的直線擬合來說，大約需要100*99*0.5=4950次運算，複雜度無疑是龐大的。一般採用隨機選取子集的方式。
computeAllChoices(paramEstimator,data,numForEstimate,
bestVotes, curVotes, numVotesForBest, 0, data.size(), numForEstimate, 0, arr);
//compute the least squares estimate using the largest sub set
for(int j=0; j<numDataObjects; j++) {
if(bestVotes[j])
leastSquaresEstimateData.push_back(&(data[j]));
}
// 對局內點再次用最小二乘法擬合出模型
paramEstimator->leastSquaresEstimate(leastSquaresEstimateData,parameters);
delete [] arr;
delete [] bestVotes;
delete [] curVotes;
return (double)leastSquaresEstimateData.size()/(double)numDataObjects;
} 優點與缺點
RANSAC的優點是它能魯棒的估計模型參數。例如，它能從包含大量局外點的數據集中估計出高精度的參數。RANSAC的缺點是它計算參數的迭代次數沒有上限；如果設置迭代次數的上限，得到的結果可能不是最優的結果，甚至可能得到錯誤的結果。RANSAC只有一定的概率得到可信的模型，概率與迭代次數成正比。RANSAC的另一個缺點是它要求設置跟問題相關的閥值。
RANSAC只能從特定的數據集中估計出一個模型，如果存在兩個（或多個）模型，RANSAC不能找到別的模型。