線性分組碼之認識循環碼

循環碼字如其名，所有碼字都可以通過一個碼字的循環移位構成。介於其循環位移的特性，因此引入一種循環碼特有的表示方法

多項式表示法

對於碼字$c(c_{n-1},c_{n-2}\cdots c_2,c_1,c_0)$可以記爲
$c(x)=c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-1}\cdots c_1 x^1+c_0$

循環移位的特性體現在 左移一位等同於 $xc(x)\quad mod (x^n+1)$ ¹
$\begin{aligned} xc(x) &=c_{n-1}x^n+c_{n-2}x^{n-1}\cdots c_1x^2+c_0x^1 \\ &=c_{n-1}x^n+c_{n-2}x^{n-1}\cdots c_1x^2+c_0x^1+c_{n-1}+c_{n-1} \\ &=c_{n-1}(x^{n}+1)+c_{n-2}x^{n-1}\cdots c_1x^2+c_0x^1+c_{n-1} \end{aligned}$

所以左移操作在多項式中可以記爲
$c^{(i)}(x)=[x^i c(x)]_{mod(x^n+1)}$

碼字的循環位移是一種線性變換，左移變換矩陣如下
$\begin{bmatrix} 0&1&0&\cdots & 0 &0 \\ 0&0&1&\cdots &0&0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ 0&0&0&\cdots &0&1 \\ 1&0&0&\cdots &0&0 \\ \end{bmatrix}$

循環碼作爲線性分組碼的一種，仍不失其同性，就是

生成矩陣/生成多項式

循環碼也遵循線性分組碼的計算方式
$c=u \cdot G$

其中c爲碼字，u爲信息位，G爲生成矩陣。
得益於循環碼的多項式表示方式，在這裏生成矩陣又有新的表現形式。
由於循環碼的碼字可以從一個碼字循環移位構成，因此我們不妨去在碼字集合中，除0外次數最低的碼字循環移位構成生成矩陣，如下所示
$G= \begin{bmatrix} 1&1&1&0&1&0&0 \\ 0&1&1&1&0&1&0 \\ 0&0&1&1&1&0&1 \\ \end{bmatrix}$

這個最低次數的碼字對應的多項式記爲生成多項式²g(x)，因而我們就可以把生成矩陣簡化爲生成多項式，同樣生成矩陣在生成多項式下表示爲
$G= \begin{bmatrix} x^2 \cdot g(x) \\ x^1 \cdot g(x) \\ x^0 \cdot g(x) \\ \end{bmatrix}$

性質

以下是生成多項式的幾點性質 雖然不知道有什麼用，但是考試考過了還是寫上吧，證明就算了

1. g(x)的0次項爲0
2. g(x)具有唯一性
3. g(x)是(xⁿ+1)的一個因子
4. g(x)的次數是(n-k)次

系統循環碼

直白一點就是怎麼把非系統的循環碼生成矩陣化成系統的，當然最簡單的辦法就是做初等變換化成階梯矩陣，但是這個太費勁，下面介紹個快的，借用課本上的說明：
如果要構成系統碼，那麼碼字最左k位一定k位信息位，然後再是r位檢校位,所以碼字構成應爲
$\begin{aligned} c(x)&=u_{k-1}x^{n-1}+u_{k-2}x^{n-2}\cdots k_0x^{n-k} + r(x) \\ &=(u_{k-1}x^{k-1}+u_{k-2}x^{k-2}+\cdots k_0)x^{n-k}+r(x) \end{aligned}$

根據循環碼的特性我們又知道，每一個碼字都是g(x)循環位移的產物，因此有
$c(x) =0 \quad mod g(x) \\ {u(x)x^{n-k}}_{mod g(x)} +r(x) =0$

r(x)次數小於g(x)次數，所以求餘後不變，所以碼字的監督位就是
$r(x)= {u(x)x^{n-k}}_{mod g(x)}$

考慮到生成多項式形式下的生成矩陣，不難得出循環碼的系統碼生成矩陣
$G= \begin{bmatrix} x^{n-1}+{x^{n-1}}_{mod g(x)} \\ x^{n-2}+{x^{n-2}}_{mod g(x)} \\ \vdots \\ x^{n-k} +{x^{n-k}}_{mod g(x)} \\ \end{bmatrix}$

譯碼

在上文中，既然已經得到了系統碼的生成矩陣，就可以用檢校矩陣去檢驗碼字

此外，根據生成多項式g(x)的性質3，我們知道存在非零多項式h(x)有
$g(x)h(x) = x^n-1$

該非零多項式就記爲循環碼的檢驗多項式。
從上面的等式中我們可以很明顯的看到
$c(x)h(x) = u(x)g(x)h(x) = 0 \quad (mod\quad x^n-1)$

所以利用這一關係可以在接受端檢驗是否有錯誤發生。因爲如果在傳輸過程中有錯誤e產生，那麼$r(x)=c(x)+e(x)$,故
$r(x)h(x)=u(x)g(x)h(x)+e(x)h(x) = e(x)h(x) \quad (mod\quad x^n-1)$

就會產生一個非零伴隨式。假設此時e爲單錯誤圖樣，寫爲多項式表示$e(x)= x^{pos}$,所以伴隨式的多項式表示
$S(x)=x^{pos} \cdot h(x)$

根據上文所述，伴隨式就是h(x)的循環移位，移位次數就是發生錯誤的位置

循環碼設計

循環碼設計見：
BCH碼設計
RS碼設計

有生之年，什麼時候想起來再更

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1. 此處求餘運算爲多項式除法，就和數值除法差不多，暫不做介紹 ↩︎

2. 這裏只是籠統的介紹生成多項式的作用，根據這個定義是沒法設計循環碼的，有關循環碼的設計將在其他文章中提及 ↩︎