關於傅立葉係數的計算公式

我們稱將一個週期信號分解成一個直流和一系列復指數信號分量之和的過程爲傅立葉展開，也就是說，要用一系列的角速度爲$\omega \; =\; k\omega _{0}$ 的旋轉向量$c_{k}e^{jk\omega _{0}t}$來合成週期信號。

具體的應用就是：我們得到一個週期信號$f\left( t \right)\; =\; \sum_{k=-\infty }^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}}$，假設要提取第m個（$k=m$），對應的旋轉向量爲$m\omega _{0}$的係數$c_{m}$，應該怎樣計算$c_{m}$的值。

1. 我們將要求的$k=m$項從累加公式中提出來：
   $f\left( t \right)\; =\; \sum_{k=-\infty }^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}} =c_{m}e^{jm\omega _{0}t}\; +\; \sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{jk\omega _{0}t}}$

2. 兩端乘$e^{-jm\omega _{0}t}$:
   $f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}=c_{m}e^{jm\omega _{0}t}\; e^{-jm\omega _{0}t}+\; \sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{j\left( k-m \right)\omega _{0}t}}$

好像我們講傅立葉展開式搞得更復雜了，但是接下來我們要用復指數信號的正交特性進行化簡。先看看要用到的性質：

• 任意一個復指數信號與另一個復指數信號共軛乘積在基波週期內的積分都爲0
  $\int_{T}^{}{e^{jm\omega _{0}t}e^{-jn\omega _{0}t}dt}\; =\; 0\; ,\; \left( m\; \neq \; n \right)$
• 任意一個復指數信號與自身共軛的乘積在基波週期內的積分都爲T
  $\int_{T}^{}{e^{jm\omega _{0}t}e^{-jn\omega _{0}t}dt}\; =\; T\; ,\; \left( m\; =\; n \right)$
  （這兩個可以先用歐拉公式化爲三角函數，再通過積化和差推導）

3. 在基波週期內對兩端進行積分：
   $\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt}=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{c_{m}dt}+\; \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\sum_{k=-\infty ,k\neq m}^{\infty }{c_{k}e^{j\left( k-m \right)\omega _{0}t}}}dt$

4. 化簡：
   $\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt}=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{c_{m}dt}$

5. 求出$c_{m}$:
   $c_{m\; =\; }\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt}$

我們已經將整個求過程$c_{m}$描述完畢，回頭再看$c_{m\; =\; }\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt}$這個式子，其實就是利用復指數信號的正交特性在基波週期內對其化簡：

• 將$\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right)e^{-jm\omega _{0}t}dt}$展開
• $\frac{1}{T}\left( 0\; +\; 0\; +...+\; c_{m}e^{jm\omega _{0}t}e^{-jm\omega _{0}t}+\; 0\; +...+\; 0 \right)$
• $\frac{1}{T}\left( Tc_{m} \right)$

沒錯，這就是$c_{m}$，醉了(e_e)
但是，我們在求解過程中是週期信號$f\left( t \right)$不是用來分解的（因爲不知道$c_{m}$，😂），而是要整體代入求解。

最後：
之前一直堅信我不會再碰通信了，但是最近方向“突變”爲CSI，我崩了。也後悔之前的不正經，沒學好杜軍老師講的通信原理。

參考：陳愛軍. 深入淺出通信原理