分治法求解逆序數

   在一個排列中，如果一對數的前後位置與大小順序相反，即前面的數大於後面的數，那麼它們就稱爲一個逆序。一個排列中逆序的總數就稱爲這個排列的逆序數。

      求逆序數的方法很多。最容易想到的辦法是分別對序列中每一個元素求其逆序數，再求所有元素的逆序數總和，易分析得出這樣的方法其時間複雜度爲O(n²)。

      這裏介紹一種分治的方法求逆序數，其思路如下。

       我們知道在對序列進行二路歸併排序的時候，要將序列拆分成若干子序列，先將子序列排序，再合併子序列構成最終排序後的序列。二路歸併算法還有一個特點，在進行歸併操作時候的兩個子序列是有序序列，所以，我們可以利用這一點，在歸併子序列的時候，其中的子序列內部的逆序數必然是0，這時候能產生逆序數的情況必然處於子序列之間，即：“位置靠後的子序列”中的元素小於“位置靠前的子序列”的元素。例如，有子序列x：2,4,5；子序列y:1,3,6，顯然，子序列y中的元素1的逆序數爲3,子序列y中的元素3的逆序數爲2，其他元素的逆序數均爲0。通過這樣一種方法，我們可以在序列的二路歸併排序的過程中將序列的逆序數計算出來。故其時間複雜度爲O(nlogn)。

      其代碼實現如下：

     h1.h

#ifndef H1_H
#define H1_H

#include<string.h>
#include<ctype.h>
#include<malloc.h> /* malloc()等 */
#include<limits.h> /* INT_MAX等 */
#include<stdio.h> /* EOF(=^Z或F6),NULL */
#include<stdlib.h> /* atoi() */
#include<io.h> /* eof() */
#include<math.h> /* floor(),ceil(),abs() */
#include<process.h> /* exit() */

#define MAXSIZE 100
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
/* #define OVERFLOW -2 因爲在math.h中已定義OVERFLOW的值爲3,故去掉此行 */
typedef int Status; /* Status是函數的類型,其值是函數結果狀態代碼，如OK等 */
typedef int Boolean; /* Boolean是布爾類型,其值是TRUE或FALSE */


#endif

InversionCount.c

#include "h1.h"

int mergeCount(int a[], int low, int center, int high){

    int count;
    int i, j, k;

    if(low >= high){
        return 0;
    }

    int *temp = (int *)malloc(sizeof(int)*MAXSIZE);
    if(!temp){
        printf("Error!Memorry allocation wrong!");
    }

    count = 0;
    for(i=low,j=(center+1),k=0; i<=center&&j<=high; ){
        if(a[i]>a[j]){
            count += (center-i+1);
            temp[k++] = a[j++];
        }
        else{
            temp[k++] = a[i++];
        }
    }
    while(i <= center){
        temp[k++] = a[i++];
    }
    while(j <= high){
        temp[k++] = a[j++];
    }

    for(i=low; i<=high; i++){
        a[i] = temp[i-low];
    }

    free(temp);

    return count;
}

int inversionCount(int a[], int low, int high){

    int center;

    if(low < high){
        center = (low+high)/2;
        int rl, rr, r;
        rl = inversionCount(a, low, center);
        rr = inversionCount(a, center+1, high);
        r = mergeCount(a, low, center, high);
        return (rl+rr+r);
    }
    else{
        return 0;
    }
}

int main(){

    int a[] = { 12, 3, 7, 10, 14, 18, 19, 2, 11, 16, 17, 23, 25};

    int i, result=0;

    result = inversionCount(a, 1, 12);

    printf("The numbers sorted:\n");
    for(i=1; i<=12; i++){
        printf("%d  ", a[i]);
    }
    printf("\nThe inversion count is: %d\n", result);

    return 0;
}

註上述測試的序列爲：

{3, 7, 10, 14, 18, 19, 2, 11, 16, 17, 23, 25}排在第一位的12表示元素個數，其最終逆序數爲13.