1. 01揹包（HD 2602）
問題：有N件物品和一個容量爲V的揹包。第i件物品的體積是volume[i]，價值是value[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
（1）揹包一定裝滿
int ZeroOnePack(vector<int> value, vector<int> volume, int V)
{
int i, j;
vector<int> f;
for(i = 0; i <= V; i++)
f.push_back(0);
for(i = 0; i < value.size(); i++)
{
for(j = V; j >= volume[i]; j--)
{
f[j] = max(f[j], f[j-volume[i]]+value[i]);
}
}
return f[V];
}（2）揹包不一定裝滿
</pre><pre name="code" class="cpp">int ZeroOnePack(vector<int> value, vector<int> volume, int V)
{
int i, j;
vector<int> f;
f.push_back(0);
for(i = 1; i <= V; i++) //區別就在於初始化
f.push_back(INF);
for(i = 0; i < value.size(); i++)
{
for(j = V; j >= volume[i]; j--)
{
f[j] = max(f[j], f[j-volume[i]]+value[i]);
}
}
return f[V];
} 爲什麼呢？可以這樣理解：初始化的f數組事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量爲0的揹包可能被價值爲0的nothing “恰好裝滿”，其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是 1了。如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有一個合法解“什麼都不裝”，這個解的價值爲0，所以初始時狀態的值也就全部爲0了。這個小技巧完全可以推廣到其它類型的揹包問題。
2.完全揹包（HD 1114）
問題：有N種物品和一個容量爲V的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的體積是volume[i]，價值是value[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的體積總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
int CompletePack(vector<int> value, vector<int> volume, int V)
{
int i, j;
vector<int> f;
f.push_back(0);
for(i = 1; i <= V; i++)
f.push_back(INF);
for(i = 0; i < value.size(); i++)
{
for(j = volume[i]; j <= V; j++) //循環順序變了
{
f[j] = min(f[j], f[j-volume[i]]+value[i]);
}
}
return f[V];
}區別於01揹包的就是for(j = volume[i]; j <= V; j++) //循環順序變了，在01揹包中的循環順序是爲了保證每件物品只選一次，保證在考慮“選入第i件物品”這件策略時，依據的是一個絕無已經選入第i件物品的子結果f[i-1][v-c[i]]。而現在完全揹包的特點恰是每種物品可選無限件，所以在考慮“加選一件第i種物品”這種策略時，卻正需要一個可能已選入第i種物品的子結果f[i][v-c[i]]，所以就可以並且必須採用v=0..V的順序循環。
3.多重揹包（HD 1059）
問題：有N種物品和一個容量爲V的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件體積是volume[i]，價值是value[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的體積總和不超過揹包容量，且價值總和最大。
思路：將第i種物品分成若干件物品，其中每件物品有一個係數，這件物品的體積和價值均是原來的體積和價值乘以這個係數。這些係數有個要求：保證對於0..n[i]間的每一個整數，均可以用若干個係數的和表示。這是爲了簡化分成若干件（0...n[i]）。（二進制分解）這些係數爲：2^0，2^1,...,2^k,n[i] - 2^k+1，有定理保證，其實這個定理就是騰訊2015實習招聘時候附加題（http://blog.csdn.net/dongyi91/article/details/23548943）。
int MultiplePack(vector<int> value, vector<int> volume, int V, vector<int> count)
{
int i, j, k;
vector<int> f;
for(i = 0; i <= V; i++)
f.push_back(0);
for(i = 0; i < value.size(); i++)
{
if(volume[i]*count[i] >= V) //對待該物件相當於完全揹包問題
{
for(j = volume[i]; j <= V; j++) //完全揹包
{
f[j] = max(f[j], f[j-volume[i]]+value[i]);
}
}
else
{
k = 1;
while(k < count[i]) //分解若干個物件用01揹包問題解
{
for(j = V; j >= k*volume[i]; j--) //01揹包
{
f[j] = max(f[j], f[j-k*volume[i]] + k*value[i]);
}
count[i] -= k;
k *= 2; //二進制分解
}
for(j = V; j >= count[i]*volume[i]; j--) //01揹包（n[i]-2^k）
{
f[j] = max(f[j], f[j-count[i]*volume[i]]+count[i]*value[i]);
}
}
}
return f[V];
}